SESION 5-M3-P4-22

 

 

“Año del Fortalecimiento de la soberanía nacional” 

MATERIAL DE LECTURA-S5-P4-3°G-22

 

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION 5:

“Determinamos líneas y puntos de un triángulo”

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION 5:

Al finalizar la SESIÓN 4, el estudiante del TERCER GRADO de secundaria, RESOLVERA problemas, modelando líneas y puntos notables de un TRIANGULO.

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

Un alumno muy Emprendedor, de la I.E “San Carlos” del distrito de Monsefú, se ha propuesto diseñar el local de su futura empresa; por lo que, pretende utilizar TRIANGULOS y para eso se pregunta: ¿Qué elementos debo conocer? ¿Cómo podría identificarlos?

   Como alumnos, del Tercer Grado: ¿Podrías ayudarle?, ¿De qué manera?

 

SEGUNDA PARTE: LECTURAS.

2.1.- LINEAS Y PUNTO NOTABLES EN UN TRIANGULO:

2.1.1.- DEFINICIÓN:

En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: ALTURAS, MEDIANAS, MEDIATRICES y BISECTRICES.

2.1.2.- ALTURA Y ORTOCENTRO:

La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular que va desde un vértice hasta la recta que contiene al lado opuesto a este. En un triángulo se pueden construir TRES alturas, una por cada vértice. Para construir las alturas de un triángulo, se utilizan ESCUADRAS y las rectas que contienen las alturas, se intersecan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO.

 

2.1.3.- MEDIANA Y BARICENTRO:

La mediana de un triángulo, es un segmento cuyos extremos son el vértice y el punto medio del lado opuesto, dando origen a TRES medianas, una por cada vértice, ubicando primero los puntos medios de cada lado y luego, se trazan los segmentos que unen cada vértice, con el punto medio del lado opuesto, y se intersecan en un mismo punto llamado BARICENTRO.

En cualquier tipo de triángulo, el BARICENTRO cumple las siguientes propiedades:

• Siempre está en el interior del triángulo.

• La longitud entre el baricentro y cada uno de los vértices equivale a 2/3 de la longitud de la mediana que contiene a dicho vértice.

 

 

2.1.4.- BISECTRIZ E INCENTRO:

La bisectriz de un ángulo, es una semirrecta que lo divide en dos ángulos congruentes. En el caso del ángulo interno de un triángulo, la bisectriz, puede considerarse como un segmento cuyos extremos son el vértice y un punto del lado opuesto, y que divide el ángulo en dos congruentes. Para construir una bisectriz de un triángulo con regla y compás, se procede así:

Las bisectrices de un triángulo se intersecan en un punto llamado INCENTRO. El incentro equidista de los lados del triángulo.

2.1.5.- MEDIATRIZ Y CIRCUNCENTRO:

La mediatriz de un segmento, es una recta perpendicular que pasa por su punto medio y en un triángulo se pueden trazar tres mediatrices; una por cada lado.

Las mediatrices también se pueden construir con regla y compás. Para ellos, se realizan los siguientes pasos:

Las mediatrices de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO y equidista de los vértices del triángulo.

2.1.6.- RESUMEN:

En un triángulo, no necesariamente las líneas notables deben coincidir, por ejemplo en el triángulo cuyos lados tienen longitudes diferentes, las líneas notables no coinciden.

 

 

 

2.1.6.- PROPIEDADES DE ANGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES.

1.- De un ángulo interior y un ángulo exterior: “La medida de un ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior, que parten de dos vértices diferentes, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo del triángulo”.

 

 

2.- Angulo determinado por las bisectrices de dos ángulos interiores: “La medida del ángulo que forman dos bisectrices interiores de un triángulo es igual a 90° más la mitad del tercer ángulo del triángulo”.

 

3.- Angulo determinado por las bisectrices de dos ángulos exteriores: “La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90° menos la mitad del tercer ángulo del triángulo”.

4.- Angulo formado por una altura y la bisectriz interior trazada desde el mismo vértice: “La medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulos del triángulo”.

 

 

TERCERA PARTE:

VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

3.1.- LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO.

https://www.youtube.com/watch?v=q4C65NXyKUg

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo siguiente:

PROBLEMAS:

1.- La altura relativa a la base de un triángulo isósceles mide 21. Calcular la distancia del baricentro a dicha base.

a) 6                              b) 2                            c)21                             d) 14                               e) 7 

2.- Calcular “x” en la figura:

a) 20°                              b) 40°                         c)  60°                          d) 70°                        e) 55°     

 3.- Calcular “Ɵ” en la figura:

a) 55°                              b) 45°                         c)    35°                          d) 65°                        e) 60°  4.- 4.- Calcular “X” en la figura, si “I” es INCENTRO.

a) 20°                              b) 30°                         c)    40°                          d) 50°                        e) 60°

5.- Calcular “X” si “O” es ortocentro del ΔABC. Además, “I es INCENTRO del ΔAOC:

a) 120°                              b) 130°                         c)   140°                          d) 150°                        e) 160°

6.- En un triángulo “ABC” se traza la ceviana “BE” tal que: AB = BE = CE    y  BCE = 38°.

Hallar “m ݻ A”

a) 64°                              b) 76°                         c)   72°                          d) 68°                        e)  80°

7.- De la figura, calcular “X”: Si AE es bisectriz interior.

 

a) 20°                              b) 30°                         c)  40°                          d) 70°                        e)  35°

 

8.- En un triángulo, se traza la bisectriz interior BE, calcular :

a) 45°                              b) 30°                         c)  62°                          d) 65°                        e)  75°

9.- Dado el triángulo “PQR”, se traza la bisectriz interior PM, tal que: PQ = PM = MR. Calcular:

a) 20°                              b) 30°                         c)  37°                          d) 53°                        e)  36°

10.- En la figura BH es la altura, además:

a) 20°                              b) 30°                         c)  60°                          d) 40°                        e)  80°

 

QUINTA PARTE: Actividades de reflexión.

Después de haber realizado tu trabajo, reflexiona con tus compañeros respondiendo las siguientes preguntas:

¿Para qué nos son útiles determinar las líneas y puntos notables de un TRIANGULO?, ¿Podrías comentar en qué otras situaciones podemos utilizar dichos conocimientos?, ¿Cómo has identificado dichos ELELEMENTOS en la resolución de problemas?,¿Qué elementos relevantes has reconocido en ellas? , ¿Qué dificultades encontraste y que hiciste para superarlas?, ¿por qué crees que algunos tienen una respuesta diferente?, ¿qué nociones relacionaste?, ¿cuáles fueron las que más encontraste?

 

SEXTA PARTE:

6.1.- PRODUCTO: RESOLVER la situación significativa, en una hoja previamente entregada por el docente, tomando como referencia los conocimientos aprendidos y compartidos en el aula de acuerdo a la sesión desarrollada.

6.2.- ENTREGA: En físico, de manera presencial.

¡ BUENA SUERTE ¡

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

“No digas ¡cuando tenga tiempo estudiaré!, porque quizás nunca tendrás tiempo” (Hilel, Pirkei Avot).

 

 

SESION 4-M3-P4-22

 

 

“Año del Fortalecimiento de la soberanía nacional” 

MATERIAL DE LECTURA-S4-P4-3°G-22

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION 4:

“Observamos la función de un emprendimiento social”

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION 4:

Al finalizar la SESIÓN 4, el estudiante del TERCER GRADO de secundaria, RESOLVERÁ ECUACIONES CUADRÁTICAS, usando productos notables o propiedades de las igualdades.

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

Un alumno muy Emprendedor, de la I.E “San Carlos” del distrito de Monsefú, se ha dedicado a la comercialización de “Artesanía” por delivery, su ganancia esta dado por: G(x) = 5x² + 10x + 400

Donde “x” es la cantidad (en decenas) de artesanía que fabrica. Se pregunta: ¿Qué cantidad debo vender para tener un máximo beneficio? Y ¿Cuál sería mi máxima ganancia?

   Como alumnos, del Tercer Grado: ¿Podrías ayudarle?, ¿De qué manera?

 

SEGUNDA PARTE: LECTURAS.

2.1.- LA FUNCION CUADRATICA:

2.1.1.- DEFINICIÓN:

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma: f(x) = ax² + bx + c    ;    siendo a ≠ 0

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

FORMA: La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

ORIENTACION: Las parábolas tienen forma de ∪ (si a > 0) o de ∩ (si a < 0).

AMPLITUD: Además de la orientación, el coeficiente “a” es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

EJEMPLO.

2.1.2.- VERTICES:

Las FUNCIONES CUADRÁTICAS tienen un máximo (si a < 0) o un mínimo (si  a > 0). Este punto es el vértice de la parábola; por lo que, la primera coordenada del vértice es:

Y la segunda coordenada es su IMAGEN:

EJEMPLO 1: Calcular el vértice de la función: f(x) = -2x² + 3x

SOLUCION

1°) Identificamos los coeficientes: a = -2   ;   b = 3     ;   c = 0

2°) ORIENTACION: Como valor de “a” es negativo, la parábola tiene forma de ∩. El vértice es un máximo.

3°) VERTICES:

 Entonces la primera coordenada del vértice es:

Calculamos la segunda coordenada, reemplazando en: f(x) = -2x² + 3x

Por tanto, el VÉRTICE es el punto: 

4°) GRÁFICA:

2.1.3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:

Una parábola siempre corta el EJE DE ORDENADAS (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando “x = 0”, se trata del punto (0 , c) puesto que: f(0) = c.

Una función corta al EJE DE ABSCISAS (eje X) cuando y = 0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:  ax² + bx + c = 0   

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

EJEMPLO 2:  Calcular los PUNTOS DE CORTE de la función: f(x) = x² – 1

SOLUCION

1°) Los coeficientes de la ecuación son:  a = 1    ;   b = 0   ;  c = −1

2°) PUNTO DE CORTES:

Eje Y: (0 , c) 

El punto de corte con el eje Y es (0,−1)

Eje X: y = 0

Resolvemos aplicando la fórmula, la ecuación de segundo grado: x² – 1 = 0

Hay dos soluciones: x = 1   y   x = −1

La segunda coordenada es “0” , por tanto, tenemos los puntos de corte: (1 , 0) , ( -1 , 0)

 2°) GRÁFICA:

TERCERA PARTE:

VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

3.1.- Gráfica de la función cuadrática o de segundo grado.

https://www.youtube.com/watch?v=6JQw45YO3Fs

 

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo siguiente:

PROBLEMAS CON FUNCIONES:

I.- En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el BENEFICIO obtenido, en miles de Soles, viene dado por la expresión B(x)=0,5x²-4x+6, siendo “x” la inversión en publicidad, en miles de Soles, con x en el intervalo [0,10]

a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?

b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?

c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad?

d) ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

II.- El Beneficio (en miles de Soles) que obtiene una central lechera por la producción de leche, está determinada por la función: B(x) = -x² + 7x - 10 Donde “x” representa los hectolitros producidos en una semana.

a.- ¿Cuántos hectolitros debe producir para maximizar el beneficio?

b.- Calcular el beneficio Máximo.

III.- La ganancia G (en millones de Soles), en una empresa dedicada a la comercialización de autos está dada por: G(x) = -7500 + 200x – x²

Donde “x” es la cantidad (en decenas de autos) que la empresa fabrica:

a) ¿Qué cantidad deberá vender la empresa para tener un máximo beneficio?

b) Encuentre la máxima ganancia.

IV.- El dueño de un comercio de artículos que sabe que si semanalmente vende “x” artículos, sus ganancias son: U = -2x² + 40x + 280, desea determinar:

a) ¿Cuál es el número de unidades que deberá vender, para que la utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es la unidad máxima?

 V.- Una fábrica, de acuerdo Con Sus registros de producción, Considera que el costo de Manufactura de unos radios, dependen del # da unidades fabricados según la función: C= 10 000 + 100x + 0,01x²

¿calcula la cantidad de radios por fabricar, para que el costo sea el mínimo?

QUINTA PARTE: Actividades de reflexión.

Después de haber realizado tu trabajo, reflexiona con tus compañeros respondiendo las siguientes preguntas:

¿Para qué nos son útiles aplicar las FUNCIONES CUADRATICAS?, ¿Podrías comentar en qué otras situaciones podemos utilizar dichos conocimientos?, ¿Cómo has identificado las variables a encontrar en la resolución de problemas?,¿Qué elementos relevantes has reconocido en ellas? , ¿Qué dificultades encontraste y que hiciste para superarlas?, ¿por qué crees que algunos tienen una respuesta diferente?, ¿qué nociones relacionaste?, ¿cuáles fueron las que más encontraste?

 

SEXTA PARTE:

6.1.- PRODUCTO: RESOLVER la situación significativa, tomando como referencia los conocimientos aprendidos y compartidos en el aula de acuerdo a la sesión desarrollada.

6.2.- ENTREGA: En físico, de manera presencial.

¡ BUENA SUERTE ¡

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

“No digas ¡cuando tenga tiempo estudiaré!, porque quizás nunca tendrás tiempo” (Hilel, Pirkei Avot).