SESION 4-M3-P4-22

 

 

“Año del Fortalecimiento de la soberanía nacional” 

MATERIAL DE LECTURA-S4-P4-3°G-22

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION 4:

“Observamos la función de un emprendimiento social”

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION 4:

Al finalizar la SESIÓN 4, el estudiante del TERCER GRADO de secundaria, RESOLVERÁ ECUACIONES CUADRÁTICAS, usando productos notables o propiedades de las igualdades.

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

Un alumno muy Emprendedor, de la I.E “San Carlos” del distrito de Monsefú, se ha dedicado a la comercialización de “Artesanía” por delivery, su ganancia esta dado por: G(x) = 5x² + 10x + 400

Donde “x” es la cantidad (en decenas) de artesanía que fabrica. Se pregunta: ¿Qué cantidad debo vender para tener un máximo beneficio? Y ¿Cuál sería mi máxima ganancia?

   Como alumnos, del Tercer Grado: ¿Podrías ayudarle?, ¿De qué manera?

 

SEGUNDA PARTE: LECTURAS.

2.1.- LA FUNCION CUADRATICA:

2.1.1.- DEFINICIÓN:

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma: f(x) = ax² + bx + c    ;    siendo a ≠ 0

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

FORMA: La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

ORIENTACION: Las parábolas tienen forma de ∪ (si a > 0) o de ∩ (si a < 0).

AMPLITUD: Además de la orientación, el coeficiente “a” es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

EJEMPLO.

2.1.2.- VERTICES:

Las FUNCIONES CUADRÁTICAS tienen un máximo (si a < 0) o un mínimo (si  a > 0). Este punto es el vértice de la parábola; por lo que, la primera coordenada del vértice es:

Y la segunda coordenada es su IMAGEN:

EJEMPLO 1: Calcular el vértice de la función: f(x) = -2x² + 3x

SOLUCION

1°) Identificamos los coeficientes: a = -2   ;   b = 3     ;   c = 0

2°) ORIENTACION: Como valor de “a” es negativo, la parábola tiene forma de ∩. El vértice es un máximo.

3°) VERTICES:

 Entonces la primera coordenada del vértice es:

Calculamos la segunda coordenada, reemplazando en: f(x) = -2x² + 3x

Por tanto, el VÉRTICE es el punto: 

4°) GRÁFICA:

2.1.3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:

Una parábola siempre corta el EJE DE ORDENADAS (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando “x = 0”, se trata del punto (0 , c) puesto que: f(0) = c.

Una función corta al EJE DE ABSCISAS (eje X) cuando y = 0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:  ax² + bx + c = 0   

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

EJEMPLO 2:  Calcular los PUNTOS DE CORTE de la función: f(x) = x² – 1

SOLUCION

1°) Los coeficientes de la ecuación son:  a = 1    ;   b = 0   ;  c = −1

2°) PUNTO DE CORTES:

Eje Y: (0 , c) 

El punto de corte con el eje Y es (0,−1)

Eje X: y = 0

Resolvemos aplicando la fórmula, la ecuación de segundo grado: x² – 1 = 0

Hay dos soluciones: x = 1   y   x = −1

La segunda coordenada es “0” , por tanto, tenemos los puntos de corte: (1 , 0) , ( -1 , 0)

 2°) GRÁFICA:

TERCERA PARTE:

VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

3.1.- Gráfica de la función cuadrática o de segundo grado.

https://www.youtube.com/watch?v=6JQw45YO3Fs

 

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo siguiente:

PROBLEMAS CON FUNCIONES:

I.- En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el BENEFICIO obtenido, en miles de Soles, viene dado por la expresión B(x)=0,5x²-4x+6, siendo “x” la inversión en publicidad, en miles de Soles, con x en el intervalo [0,10]

a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?

b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?

c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad?

d) ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

II.- El Beneficio (en miles de Soles) que obtiene una central lechera por la producción de leche, está determinada por la función: B(x) = -x² + 7x - 10 Donde “x” representa los hectolitros producidos en una semana.

a.- ¿Cuántos hectolitros debe producir para maximizar el beneficio?

b.- Calcular el beneficio Máximo.

III.- La ganancia G (en millones de Soles), en una empresa dedicada a la comercialización de autos está dada por: G(x) = -7500 + 200x – x²

Donde “x” es la cantidad (en decenas de autos) que la empresa fabrica:

a) ¿Qué cantidad deberá vender la empresa para tener un máximo beneficio?

b) Encuentre la máxima ganancia.

IV.- El dueño de un comercio de artículos que sabe que si semanalmente vende “x” artículos, sus ganancias son: U = -2x² + 40x + 280, desea determinar:

a) ¿Cuál es el número de unidades que deberá vender, para que la utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es la unidad máxima?

 V.- Una fábrica, de acuerdo Con Sus registros de producción, Considera que el costo de Manufactura de unos radios, dependen del # da unidades fabricados según la función: C= 10 000 + 100x + 0,01x²

¿calcula la cantidad de radios por fabricar, para que el costo sea el mínimo?

QUINTA PARTE: Actividades de reflexión.

Después de haber realizado tu trabajo, reflexiona con tus compañeros respondiendo las siguientes preguntas:

¿Para qué nos son útiles aplicar las FUNCIONES CUADRATICAS?, ¿Podrías comentar en qué otras situaciones podemos utilizar dichos conocimientos?, ¿Cómo has identificado las variables a encontrar en la resolución de problemas?,¿Qué elementos relevantes has reconocido en ellas? , ¿Qué dificultades encontraste y que hiciste para superarlas?, ¿por qué crees que algunos tienen una respuesta diferente?, ¿qué nociones relacionaste?, ¿cuáles fueron las que más encontraste?

 

SEXTA PARTE:

6.1.- PRODUCTO: RESOLVER la situación significativa, tomando como referencia los conocimientos aprendidos y compartidos en el aula de acuerdo a la sesión desarrollada.

6.2.- ENTREGA: En físico, de manera presencial.

¡ BUENA SUERTE ¡

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

“No digas ¡cuando tenga tiempo estudiaré!, porque quizás nunca tendrás tiempo” (Hilel, Pirkei Avot).

 

 

 

SESION 4-P3-2022

 

 “Año del Fortalecimiento de la soberanía nacional” 

MATERIAL DE LECTURA-S4-P3-3°G-22

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION 4:

“Determinamos la MAYOR o IGUAL acumulación o quemado de basura en nuestro distrito”  

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION 4:

Al finalizar la sesión, el estudiante ESTABLECERA relaciones entre datos o valores desconocidos transformándolos a INECUACIONES de la forma:  a.x ± b ≥ c ∀ a є Q y a ≠ 0.

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

“Los vecinos de un sector del distrito de Monsefú, han detectado gran acumulación de basura por parte de algunos vecinos y otros no. Por ello, han decidido realizar acciones que les permita determinar la MAYOR o IGUAL acumulación de basura en sus hogares; pero, se preguntan: ¿Cómo se puede calcular quién acumula mayor o igual cantidad?, ¿Qué variables se requieren conocer?, ¿Cómo representamos matemáticamente la relación entre estas variables?”

Ante este hecho, como estudiantes de la I.E San Carlos, identificados con la problemática de nuestro distrito: ¿Qué acciones podrían tomar para brindarle nuestra ayuda?, ¿De qué manera?

 

SEGUNDA PARTE: LECTURAS.

2.1.- INECUACIONES DE LA FORMA: a.x  ±  b ≥  c ∀ a є Q y a ≠ 0.

En la siguiente tabla, se puede ver un resumen de cómo se expresa la solución de una inecuación de primer grado (o lineal) de manera numérica, gráfica y por intervalos:

 

 

2.3.- COMO RESOLVER INECUACIONES DE PRIMER GRADO:

La solución de una inecuación de primer grado es un intervalo de números, a diferencia de las ecuaciones de primer grado que es un único número, y para resolverlas se deben hacer los siguientes pasos:

a.- Eliminar las fracciones de la inecuación, multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

b.- Quitar los paréntesis de la inecuación, aplicando la propiedad distributiva.

c.- Trasponer los términos, de manera que los monomios con “x” queden en el primer miembro de la inecuación y los términos independientes en el segundo miembro.

d.- Agrupar los términos de cada miembro de la inecuación.

e.- Despejar la incógnita “x”.

f.- Expresar la solución de la inecuación, de forma analítica, gráfica y por intervalos.

EJEMPLO 1. Resolver:

5x + 1   ≥   6x + 5(x + 2) – 3

5x + 1   ≥   6x + 5x + 10 – 3

5x + 1  ≥    11x + 7

5x – 11x  ≥   7 – 1

 – 6x  ≥    6

x  ≥   6 : (– 6)

x   ≥   – 1

C,S : [ -1 , + ∞ [

 

EJEMPLO 2. Resolver: 3x + 5(2 + 6x)    ≥   1 – 3(8x – 7)

3x - 5(1 - 6x)   ≥   1 - 3(-8x – 7)

3x - 5 + 30x    ≥   1 + 24x + 21

33x - 5    ≥   22 + 24x

33x - 24x    ≥   22 + 5

9x    ≥   27

x   ≥   2 : 9

x    ≥   3

 

 

C,S : [ 3 , + ∞ [

 

 

TERCERA PARTE:

3.1.- VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

1°. – INECUACIONES DE PRIMER GRADO.

https://www.youtube.com/watch?v=gMDAtLLW5lM

 

2°. – CALCULO DE INECUACION “a.x  ±  b ≥  c ∀ a є Q y a ≠ 0”

https://www.youtube.com/watch?v=wfVvOQEhXd0

 

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo solicitado en cada actividad.

Actividad 1: RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

1)     2x + 1  ≥  11 + 7x

 

a)   ]- ∞ , -2]                     b) [ -2, +∞[                c) [ -2, +∞]                    d)  [- ∞ , -2]                e) NA

 

a)   ]- ∞ , 1/4]                 b) ] 1/4 , +∞[              c) [ 1/4 , +∞]                 d)  [1/4 , + ∞ [               e) NA

 

 

a)   ]- ∞ , 2]                     b) [ 2, +∞[                c) [ 5, +∞]                    d)  [- ∞ , 10]                e) NA

 

 

 

Actividad 2: PROBLEMAS.

P1: El número de bolsas de BASURA acumulados en una cuadra, disminuido en 12 y su diferencia dividida por 7, resulta mayor o igual que 4 ¿Hallar el número mínimo de bolsas de BASURA acumuladas?

a)  37                            b) 38                                c) 39                   d) 40                e) NA

 P2: La cantidad de kilos de basura per cápita acumuladas en un sector, es tal que: Uno más el triple de dicha cantidad de kg es mayor igual que 46. Si se trata 3 kg de la mínima cantidad ¿Cuánto kg se queda sin tratar?

a)  15 kg                           b) 14 kg                                c) 13 kg                    d) 12 kg                 e) NA

 P3: Una madre de familia, para enterrar su basura acumulada durante la semana, hace un recorrido en taxi pagando S/. 2,50. Si el costo por km recorrido, es aproximadamente S/. 0,50 ¿Cuál es la mínima distancia en km que puede recorrer la madre de familia para pagar como máximo S/. 12?

a)  9,50 km                          b) 0,50 km                              c) 11 km                    d) 19 km                 e) NA

  

QUINTA PARTE: Actividades de reflexión.

Después de haber realizado tu trabajo, reflexiona con tus compañeros respondiendo las siguientes preguntas:

¿Para qué nos son útiles determinar la solución de una inecuación de la forma: a.x  ±  b ≥  c ∀ a є Q?, ¿Podrías comentar en qué otras situaciones podemos utilizar dichos conocimientos?, ¿Qué elementos relevantes hemos reconocido en ellas?, ¿Qué dificultades encontraste y que hiciste para superarlas?, ¿por qué crees que algunos tienen una respuesta diferente?, ¿qué nociones relacionaste?, ¿cuáles fueron las que más encontraste?

 

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: Completar los cuestionarios propuestos resolviendo las preguntas, dada por el docente en aula de acuerdo a la sesión desarrollada.

6.2.- ENTREGA: En físico, de manera presencial.

 

¡ BUENA SUERTE ¡

 

 

 

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

“No digas ¡cuando tenga tiempo estudiaré!, porque quizás nunca tendrás tiempo” (Hilel, Pirkei Avot)