MATERIAL SESION 7-P1-MAT.3º

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia” 

MATERIAL DE ESTUDIO-SESION 7

“Proponemos acciones, recomendaciones y soluciones, usando funciones”  

I.- ESCENARIO:

Mediante el uso de coordenadas, podemos desplazarnos por lugares de interés, dentro de un PLANO de una ciudad, como MONSEFU. Partiendo de la plaza central de coordenadas (0;0); podemos ir a cualquier lugar que le agrade, desde la I.E “San Carlos” hasta el mercado, cada una tiene una dirección única, indicada por un par ordenado; lo cual nos indicara, las distancias entre dos puntos, por ejemplo, la distancia del colegio al mercado:

 I.- VIDEOS:

- https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

-https://www.youtube.com/watch?v=3wnlk422oA4&ab_channel=PuntajeNacionalChile

-https://www.youtube.com/watch?v=PD45s3U9WA0&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n

 

III.- CONOCIMIENTOS PREVIOS:

3.1.- SISTEMA CARTESIANO: Para representar puntos en el plano, se toman 2 rectas perpendiculares llamadas EJES de coordenadas. El EJE HORIZONTAL se llama EJE DE ABSCISAS o EJE “X” y el EJE VERTICAL se llama EJE DE ORDENADAS o EJE “Y”. Dividiendo al PLANO en 4 cuadrantes: I, II, III y IV

El punto de intersección de ambas rectas, es el PUNTO DE COORDENADAS o punto cero “0”.

 

 

Cada uno de estos EJES se gradúa con números positivos (+) y números negativos (-). De este modo a cada punto P del plano le corresponde un par de números (X; Y) que llamamos coordenadas del punto. Las coordenadas de un punto P(x;y) están dadas por un par ordenado de números, el primero “x” denominado abscisas y el segundo “y” denominado ordenadas. La primera coordenada “x” corresponde al eje horizontal y el segundo “y” al eje vertical.

EJEMPLO: En la cuadricula tenemos 2 ejes numerados, uno vertical y el otro horizontal que se cortan en el punto cero “0” . Sobre la cuadricula esta dibujado el mapa del Perú, haciendo coincidir el punto “0” en Lima.

 

Del grfico que se observa, completar la TABLA:

Ciudad	Par ordenado	Posicion
Lima	(0 ; 0)	Está en el origen
Huancayo	(3 ; 0)	Está en el eje X
Iquitos	(3 ; 8)	I cuadrante
Piura	(-3 ; 6)	II cuadrante
Ica	(-1 ; -1)	IV cuadrante
Arequipa	(-4 ; -3)	IV cuadrante
Pucallpa
Cuzco
Lambayeque

 

3.2.- PAR ORDENADO: Es un conjunto de 2 elementos, con la propiedad de que a u no de ellos se le considera el primer elemento y al otro el segundo elemento. Por ejemplo: Si dichos elementos son “a” y “b”, el par ordenado se representa por:

 

 

 

3.3.- IGUALDAD DE PARES ORDENADOS: Para que 2 pares ordenados sean iguales, sus “primeras” y “segundas” componente deben ser iguales. Es decir, si: (a ; b) = (c ; d)  debe cumplir lo siguiente: a = c y b = d

Ejemplo 1: Dado (27 ; 3) = (40 – 13; 1 + 2) . Son pares ordenados iguales, porque:

27 = 40-13     y    3 = 1+2

 

Ejemplo 2:   Si (x + 8; y/2) = (15 ; 2) . Hallar "x + y"

a)  9                        b)  10                          c) 11                               d) 12                           e) N.A

 

3.4.- PRODUCTO CARTESIANO: Dado 2 conjuntos A y B no vacíos, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a ; b) tales que a Є A y b  Є B.

Simbólicamente:  A x b = {(a;b)/ a Є A ^ b  Є B}

OJO: No olvidar de que: A x B ≠  B x A

Ejemplo 1:      Sea: A = {1 ; 2}  y    B = {5 ; 7} Hallar: A x B     y   B x A

SOLUCION:

A x B = { (1;5), (1;7), (2;5), (2;7) }

Ejemplo 2:      Con los mismos conjuntos del ejemplo 1. Hallar: B x A

a)   { (1;5), (1;7), (2;5), (2;7) }              b)    { (5;1), (5;2) }                c)     { (7;1), (7;2) }        

d)   { (5;1), (5;2), (7;1), (7;2) }              e) N.A

 

3.4.- REPRESENTACION GRAFICA DEL PODUCTO CARTESIANO:

Por ejemplo: Dado los conjuntos:      E = {a ; b ; c}  y    F = {1 ; 3} .  

Donde E x F = { (a; 1) , (a; 3) , (b;1) , (b;3) , (c;1) , (c;3)}

Este PRODUCTO puede ser representado de diversas maneras:

3.4.1.- MATRICIAL: Es un cuadrado de DOBLE ENTRADA, en donde los elementos del 1º conjunto se escriben en la 1º columna, y los del 2º conjunto en la 1º fila.  En los cuadrados internos, se encuentran los elementos del producto cartesiano.

3.4.2.- SAGITAL: Esta representación es mediante un Diagrama de VENN, se le denomina sagital, porque se emplean flechas para relacionar los elementos.

  

3.4.3.- CARTESIANA: Se realiza en el sistema cartesiano, en el EJE HORIZONTAL, se ubican los elementos del 1º conjunto y en el EJE VERTICAL del 2º conjunto.

 

 

 3.4.4.- DIAGRAMA DEL ARBOL:

 

 

 3.5.- RELACION BINARIA (RB): Dado 2 conjuntos A y B , se dice que R es una relación de A en B si es subconjunto del producto cartesiano de A x B

Simbólicamente: R: A → B  ↔ R ⊂  A x B     

Donde: A → B  , se lee “R es una relación de A en B”

Ejemplo 1:      Sea: A = {5; 8; 11}  y    B = {4; 7; 10} Hallar: R = {(a;b) Є A x B/ a < b}

SOLUCION:

Donde a > b es la regla de correspondencia.

1º hallamos el producto cartesiano:

A x B = { (5; 4) , (5; 7) , (5;10) ,  (8;4) , (8;7) , (8;10) , (11;4) , (11;7), (11;10)}

2º Encontramos la RB en base a la Regla de correspondencia: R = { (5; 7) , (5;10) , (8;10) }

Ejemplo 2:      Sea: D = {1; 3; 5}  y    E = {1; 6} Hallar: R = {(a;b) Є A x B/ a ≤ b}

 

a)   R = { (3;1) ,  (3;6) , (5;1) , (5;6)}           b)   R = { (1; 1) , (1;6) , (3;6), (5;6) }

c)   R = { (1; 1) , (1; 6) , (3;1)}                     d)  R = { (1; 1) , (1; 6) , (3;1) ,  (3;6) , (5;1) , (5;6)}                         

e) N.A

 

3.5.1.- DOMINIO DE UNA RELACION (D_R): Es el conjunto cuyos elementos son todas las 1º componentes de los pares ordenados de la relación dada.

3.5.2.- RANGO DE UNA RELACION (R_R): Es el conjunto cuyos elementos son todas las 2º componentes de los pares ordenados de la relación dada.

Ejemplo 1:      Sea: P = {4; 5 }  y    Q = {2; 3}

Hallar:R: P       Q,  R = {(a;b) Є PxQ/ a+b > 7}  ,             ii) D_{R             ,}                      iii) R_R

SOLUCION:

Hay que tener en cuenta que:

Entonces, primero hayamos: P x Q = { (4; 2) , (4; 3) , (5;2) ,  (5;3) }

i) R = { (5 ; 3) }           ii) D_R = { 5 }             ii) R_R = { 3 } 

 

Ejemplo 2:      Sea: M = {1; 3; 5 }  y    N = {2 ; 4}  y 

M x N = { (1; 2) , (1; 4) , (3;2) ,  (3;4) , (5;2) ,  (5;4) }

Algunas relaciones de M y N son: R₁ = { (1; 2), (3;2)}  ,  R₂ = { (3;4), (5;2) , (5; 4), (1;2)} 

R₃ = { (1; 2), (5;4), (3;2)}  . Se puede tener, otras muchas relaciones.

Graficamos la “R₃” empleado el diagrama sagital y el diagrama cartesiano, encontrando su  D_{R   Y}  R_R Luego, hacer lo mismo con R₁ y R_{2 .}

 

Donde:  i) D_R = { 1; 3; 5 }   ,     ii) R_R = { 2; 4 }

 

Ejemplo 3:      Sea: A = {7; 0; 3 }  y    B = {1 ; 5 ; 2}  Calcular n(AxB)

SOLUCION:

El número de elementos: n(AxB) = n(A) x n(B)  = 3 . 3 = 9

 

Ejemplo 4:      Sean los conjuntos: A = {7; 0; 3 }  y    B = {1 ; 5 ; 2} 

Entonces indicar la relación:

SOLUCION:

 

Hallamos primero: A x B = { (7; 1) , (7; 5) , (7;2) ,  (0;1) , (0;5) ,  (0;2), (3;1) , (3;25 ,  (3;2) }

Luego, según la condición al sumar los dos números del par ordenado, tienen que dar un número múltiplo de 5:

R = { (0;5) ,  (3;2) }

 

RESOLVER:

1.- Si  (a+3 ; b-1) = (8 ; 4) indicar “a+b”

 

2.- Sabiendo que: (a² ; a +1) = (9 ; -2) Hallar “a”

 

3.- Sabiendo que A = {0; 1; 3; 5; 7 }  y    B = {2; 4; 6}  Entonces al calcular A x B se obtiene.

 

IV.- FUNCION LINEAL (RECTA).

4.1. DEFINICIÓN. Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma:      

 

         siendo m ≠ 0.

Donde: “m” es la pendiente de la función   y “n” es la ordenada (en el origen) de la función.

NO OLVIDAR: La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Ejemplo: f(x) = 2x – 1     ; donde m = 2   y   n = 1

SU GRAFICA:

  

 

 4.2.- PENDIENTE Y ORDENADA: La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir “m”.

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función. Si la pendiente es positiva (+), la función es creciente. Si la pendiente es negativa (-), la función es decreciente.

Ejemplo: Veamos las Rectas con pendientes; m = 1, m = 2, m = 3 y  m = -1:

 

 

 Observamos que la recta con pendiente negativa: m = −1 es DECRECIENTE (la roja). Las otras tres rectas son crecientes. De las rectas crecientes, la que crece más rápidamente es la verde (m = 3).

4.3.- GRÁFICA: Como una función lineal es una RECTA, para representar su gráfica sólo tenemos que trazar la recta que une dos de sus puntos. Para ello, calculamos la imagen de dos puntos cualesquiera.

La definición formal de la gráfica de la función es el conjunto de puntos siguiente: {(x ; f(x)) }

Ejemplo 1:  Vamos a representar la gráfica de la función: f(x) = 2x - 3

Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica: Representamos la recta a partir de los puntos (4,5) y (−2,−7):

TABULAMOS:

GRAFICAMOS:

OJO: La recta corta al eje Y por debajo del eje X, esto se debe a que la ordenada es negativa (n = −3).

 

4.4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: Una FUNCIÓN LINEAL siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en un punto.

El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a “0”: (0; f(0))

El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene “0” en la segunda coordenada. Se calcula igualando a “0” la función y resolviendo la ecuación obtenida.

Ejemplo 2: Calculamos los puntos de corte de la función del ejemplo 1: f(x) = 2x - 3

Corte con el eje Y:   f(0) = -3 , entonces es el punto:  (0; -3) . Observad que la segunda coordenada es la ordenada.

Corte con el eje X:

2x – 3 = 0

2x = 3

X = 3/2

Es el punto: (3/2 ; 0) 

 

4.5.- FUNCIÓN A PARTIR DE DOS PUNTOS.  Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la FORMA GENERAL de la función:   y = m.x + n  y resolver el sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1:

Vamos a calcular la función lineal que pasa por los puntos (1,2) y (2,7).

Tenemos que hallar la pendiente “m”, y la ordenada “n”.

Primer punto:   Como x = 1 e y = 2, sustituyendo:

Segundo punto: Como x = 2 e y = 7, sustituyendo:

Al resolver cada una , tenemos el sistema:

 

Resolviendo el sistema, por ejemplo, por reducción, tenemos que m = 5 (con lo que n = −3). Por tanto, se trata de la FUNCIÓN: f(x) = 5x - 3

Ejemplo 2: Calcular y representar la FUNCIÓN cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (1;2) y (−3;4). ¿Cuál es su pendiente?

SOLUCION

 

La forma general de una recta es: y = mx + n 

Vamos a calcular “m” y “n” sustituyendo las coordenadas de los puntos:

Primer punto:  2 = m . 1 + n                ;                           Segundo punto:   4 = m . (-3) + n  

Tenemos un SISTEMA DE ECUACIONES:

 

 

Restando la primera ecuación a la segunda tenemos:  -4 m = 2    = - 2/4  = -1/2

Por lo tanto: m = -1/2

Sustituyendo “m” en: m + n = 2    (del sistema)

-1/2 + n  = 2

          n  = 2  + 1/2

          n  = 5/2

Por tanto, se trata de la función: y = mx + n    →     f(x) = mx + n

Luego sustituyendo tenemos:

f(x) = (-1/2) x + 5/2  =

f(x) =      y  la pendiente de la FUNCIÓN es m = −1/2 .

Gráfica:

 

Ejemplo 3: Encontrar la ecuación de la  RECTA que pasa por el origen y el punto (2 ; 4).

SOLUCION

Si  y = mx + n   , como para por el origen tenemos el punto: (0 ; 0)

Tenemos: 0 = 2(0) + n    → n = 0

Hallamos la pendiente según datos:      

m  =   = 2

Luego la ECUACION  de la Recta será:  y = mx + n

Reemplazando: y = 2.x+ 0  = 2x

Por lo tanto: Y = 2X

V.- INFORMACION ADICIONAL:

5.1.- Resuelve las paginas 83 al 86 de tu cuaderno de trabajo de Matemática “Resolvamos problemas”, 3º de Secundaria.

5.2.- Guarda en tu portafolio.

OJO: Consultar blog: SAELMATEMATICO.blogspot.com

 

VI.- EJERCICIOS A RESOLVER.

Problema 6.1: Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la FUNCIÓN. ¿Cuál es la pendiente de la recta:  y = 4 – 2x?

PRIMERO: La pendiente es:

a) 1                         b)    -1                       c)  2                        d)    -2                     e)  N.A

 

 

SEGUNDO: El punto de corte es:

a)  ( 1 ; 0)                b)    (-1 ; 0)              c)  (2 ; 0)                 d)    (0 ; 0)                     e)  N.A

 

Problema 6.2:  Graficar: y = 2x -1     Hallando su Domino y Rango (primero tabular y luego graficar)

 

Problema 6.3:  Completar la tabla según lo solicitado:

Función	m	n
f(x) = 2x + 1
y = -2x
y = x
f(x) = 3
y = x2 – 4
f(x) = (x + 1)(x -1)

 

Problema 6.4:  Encontrar la Ecuación de Recta que pasa por el punto (3 ; -5) y tiene una pendiente de 6.

a)  y = 6x - 23           b)  y = 18x - 5           c)  y = 2x - 3                   d)  y = x                    e)  N.A

Problema 6.5:  Encontrar la ecuación de la siguiente función:

a)  y = 6x - 23           b)  y = x + 1           c)  y = x - 1                   d)  y = x                    e)  N.A

 

Problema 6.6:  El precio de un RESPIRDOR ARTIFICIAL nuevo es de $ 12 mil dólares y su valor disminuye $2 mil dólares por año, debido a la depreciación.

1º) Escriba la ecuación lineal que determine el valor  “V” de dicho equipo “t” años después de su compra.

a)  y = -2000x - 12000                  b)  V = -2000t + 12000             c)  v = 2000t – 12 000                  

d)  V = -2000t + 12 000                     e)  N.A

 

2º) Calcular el valor pasado 4 años de la compra.

a)  V = 4 000 Dólares                              b)  V = 12 000 Dólares                      c)  V = 16 000 Dólares                   

d) v = 10 000 Dólares                           e)  N.A

 

Problema 6.7:  La Empresa de electricidad “ENSA” cobra a sus consumidores de engría eléctrica una tarifa base de S/.5 por mes, más S/.0,10 por cada Kilowatt/hora (KWH).

Expresar el costo mensual “C”, en función de la energía consumida “E”.

a)  C = 10E + 5           b)  C = 0,10E + 5            c)  C = E + 5           d)  C = 5E + 0,10             e)  N.A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

 

 

 

 

 

“Educar es más que dar carrera para vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las injusticias” –PITÁGORAS