SESION 2-M3-P1-2022

 

 “Año del Fortalecimiento de la soberanía nacional” 

MATERIAL DE LECTURA-S2-3°G-P1-22

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION 2:

“Abordamos con alegría el conocimiento del crecimiento aritmético y geométrico”

La que se ejecutara, desde el 25 de abril al 06 de mayo (02 semanas)

 

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION 1:

EXPRESA, con representaciones gráficas, tabulares y simbólicas la regla de formación de una PROGRESION GEOMETRICA.

 

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

NAYELI, alumna del 3°Grado de secundaria de la I.E “San Carlos de Monsefú, es amante del arroz y siempre acompaña su almuerzo diario con una porción de arroz. Ella busca mejorar, su hábito alimenticio para tener un “IMC” adecuado; por lo que ha decidido disminuir progresivamente su consumo hasta dejar de comerlo por un tiempo. Para cumplir con su meta, adopta una singular estrategia que comparte con sus amigos, diciendo: "De mi porción diaria, el primer día dejaré de comer un grano de arroz, el segundo día dejaré de comer dos granos, el tercer día cuatro granos, el cuarto día ocho, el quinto dieciséis; y así continuaré, hasta dejar la porción completa de arroz”.

Nos preguntamos, si le podemos ayudar a IDENTIFICAR: ¿Cuál es el primer término? , ¿Cuál es la razón?, ¿Cuál es el quinto termino? Y ¿Cuál es el último término?

 

SEGUNDA PARTE: LECTURAS.

2.1.- SUCESIONES:

2.1.1.- DEFINICION: Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, .......

Cada elemento de la sucesión se llama TÉRMINO de la sucesión. Para escribirlos emplearemos subíndices: 1 para el primero, 2 para el segundo, 3 para el tercero, etc.

Los términos de las sucesiones se pueden determinar, a partir de cierto criterio, este criterio se denomina REGLA DE FORMACIÓN (R.F).

EJEMPOLO 1: Escribe su (RF) de la siguiente sucesión: 2, 6, 8, 10, 12, 14, …

SOLUCION:

La REGLA DE FORMACION: Cada termino se obtiene del anterior sumándole 2.

Termino primero: a₁ = 4

Termino segundo:  a₂ = a₁ + 2 = 4 + 2 = 6

Termino tercero:  a₃ = a₂ + 2 = 6 + 2 = 8

Termino cuarto:  a₄ = a₃ + 2 = 8 + 2 = 10

Termino quinto:  a₅ = a₄ + 2 = 10 + 2 = 12

Termino sexto:  a₆ = a₆ + 2 = 12 + 2 = 14

Termino séptimo:  ¿?

 

EJEMPOLO 2: Escribe su R.F de la siguiente sucesión:  3,8 ; 34,2 ; 307,8 ; 2770,2 ; …

SOLUCION:

La R.F es: Cada termino se obtiene del anterior multiplicándolo por 9.

Termino primero: a₁ = 3,8

Termino segundo:  a₂ = a₁ x 9 = 3,8 x 9 = 34,2

Termino tercero:  a₃ = a₂ x 9 = 34,2 x 9 = 307,8

Termino cuarto:  a₄ = a₃ x 9 = 307,8 x 9 = 2770,2

Termino quinto:   ¿?

 

EJEMPOLO 3: Escribe su REGLA DE FORMACION de la siguiente sucesión: -81, -27, -9, -3, …

SOLUCION:

La REGLA es: Cada termino es igual al anterior dividido por 3.

Termino primero: a₁ = -81

Termino segundo:  a₂ = a₁ : 3 = -81 : 3 = -27

Termino tercero:  a₃ = a₂ : 3 = -27 : 3 = -9

Termino cuarto:  a₄ = a₃ : 3 = -9 : 3 = -3

Termino quinto:   ¿?

EJEMPLO 4: Escribe 4 primeros términos de una sucesión si el primer termino es 8 y las  R.F es: “Cada termino es igual al anterior por 3 más 3”.

Solución:

Termino primero: a₁ = 8

Termino segundo:  a₂ = a₁ . 3 + 3 = 8 . 3 + 3 = 27

Termino tercero:  a₃ = a₂ . 3 + 3 = 27 . 3 + 3 = 84

Termino cuarto:  a₄ = a₃ . 3 + 3 = 84 . 3 + 3 = 255

Por lo tanto, la SUCESION es: 8, 27, 84, 255, …

EJEMPLO 5: Escribe 4 primeros términos de una sucesión si el primer término es 125 y las  R.F es: “Cada termino es igual al anterior dividido por 5”.

Solución:

Termino primero: a₁ = 125

Termino segundo:  a₂ = a₁/ 5 = 25

Termino tercero:  a₃ = a₂ / 5 = 25/5 = 5

Termino cuarto:  a₄ = a₃ / 5 = 5 / 5 = 1

Por lo tanto, la SUCESION es: 125, 25, 5, 1, …

 

2.1.2.- TÉRMINO GENERAL.

Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, “n” de la misma, se escribe a_n.

Una relación de recurrencia, es una expresión algebraica que expresa el término “n” en función de los anteriores.

EJEMPLO 1: Sea la sucesión: 5, 10, 20, 25, 30, 35…. Encuentra el termino general:

SOLUCION: El termino general es: a_n =  5n

Porque:

Termino primero: a₁ = 5 x 1 = 5

Termino segundo:  a₂ = 5 x 2 = 10

Termino tercero:  a₃ = 5 x 3 = 15

Termino cuarto:  a₄ = 5 x 4 = 20

Termino quinto:  a₅ = 5 x 5 = 25

Termino sexto:  a₄ = 5 x 6 = 30

Entonces la REGLA DE FORMACIÓN es: “Cada término es el lugar que ocupa, multiplicado por 5”

EJEMPLO 2: Escribe 4 términos de una sucesión si el término general es:  a _n = 2²ⁿ

SOLUCION:

Termino primero: a₁ = 2^2.1 = 2² = 4

Termino segundo:  a₂ = 2^2.2 = 2⁴ = 16

Termino tercero:  a₃ = 2^2.3 = 2⁶ = 64

Termino cuarto:  a₄ = 2^2.4 = 2⁸ = 256

Por lo tanto, la sucesión es: 4, 16, 64, 265, …

EJEMPLO 3: Escribe 4 términos de una sucesión si el término general es:  a _n = 5n + 6

SOLUCION:

Termino primero: a₁ = 5.1 + 6 = 5 + 6 = 11

Termino segundo:  a₂ = 5.2 + 6 = 10 + 6 = 16

Termino tercero:  a₃ = 5.3 + 6 = 15 + 6 = 21

Termino cuarto:  a₄ = 5.4 + 6 = 20 + 6 = 26

Por lo tanto, la sucesión es: 11, 16, 21, 26, …

EJEMPLO 4: Escribe 4 términos de una sucesión si el término general es:  a _n = 2n² + 3

SOLUCION:

Termino primero: a₁ = 2 x1² + 3 = 2x1 + 3 = 2 + 3 = 5

Termino segundo:  a₂ = 2 x 2² + 3 = 2x4 + 3 = 8 + 3 = 11

Termino tercero:  a₃ = 2x3² + 3 = 2x9 + 3 = 18 + 3 = 21

Termino cuarto:  a₄ = 2x4² + 3 = 2x16 + 3 = 32 + 3 = 35

Por lo tanto, la sucesión es: 5, 11, 21, 35, …

EJEMPLO 5: Escribe 4 términos de una sucesión si el término general es:  a _n = - n² + 4

SOLUCION:

Termino primero: a₁ = - 1² + 4 = -1 + 4 = 3

Termino segundo:  a₂ = - 2² + 4 = -4 + 4 = 0

Termino tercero:  a₃ = - 3² + 4 = -9 + 4 = -5

Termino cuarto:  a₄ = - 4² + 4 = -16 + 4 = -12

Por lo tanto, la sucesión es: 3, 0, -5, -12, …

 2.2.- PROGRESIÓN, TÉRMINOS, RAZÓN, MONOTONÍA.

2.2.1.- PROGRESION GEOMETRICA. - Una progresión geométrica (o sucesión geométrica) es una secuencia ordenada de números llamados términos, de modo que cada término se calcula multiplicando (o dividiendo) un número (llamado razón) al término anterior.

EJEMPLO 1: Tenemos la SUCESIÓN de las potencias de 2 es: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

El primer término es a₁=1.

El segundo término es a₂ = 2.

El tercer término es a₃ = 4.

El cuarto término es a₄ = 8.

Y si sucesivamente.

La razón de esta sucesión es r = 2. Observa que cada término es el resultado de multiplicar por 2 al término anterior:

2.2.2.- TÉRMINOS: Cada número de la PROGRESIÓN, se denomina término. Escribimos “a_n” para indicar el término “n-ésimo” de la progresión, es decir, el último término de la posición “n”.

2.2.3.- RAZON: La razón de una progresión geométrica suele denotarse por “r” y se calcula dividiendo un término entre el término anterior:

La razón en de una progresión geométrica es constante. Es decir, la división entre dos términos consecutivos siempre tiene que ser la misma.

EJEMPLO: En la sucesión propuesta: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Calculamos la razón, la cual es 2:

2.2.4.- MONOTONÍA:

Ø  Una progresión es monótona CRECIENTE si cada término es mayor o igual que el término anterior:

Ø  Una progresión es monótona DECRECIENTE si cada término es menor o igual que el término anterior:

 

Ø Una progresión es CONSTANTE si todos los términos son iguales. Esto ocurre cuando la razón es r = 1

Ø  Una progresión es ALTERNADA cuando cada término tiene el signo contrario que el término anterior. Esto ocurre cuando la razón es negativa (r < 0).

2.2.5.- TÉRMINO O FÓRMULA GENERAL.

Llamamos término general a la fórmula que proporciona el término n-ésimo de una progresión. En las progresiones geométricas es la fórmula:

 

La fórmula del término general, sale de una progresión geométrica: a₁, a₂, a₃, a₄, ….

Le buscamos la RAZON (r) y luego lo multiplicamos a cada término, para obtener al final como conclusión la fórmula:

 

 

EJEMPLO 1: Calcular el TERCER, SEXTO y OCTAVO término de la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

SOLUCION

Usamos la fórmula para cada término:

a_n = a₁ . r ^n-1

a₃ = 1 . 2 ^3-1

a₃ = 1 . 2 ²

a₃ = 1 . 4

a₃ = 4

a_n = a₁ . r ^n-1

a₆ = 1 . 2 ^6-1

a₆ = 1 . 2 ⁵

a₆ = 1 . 32

a₆ = 32

a_n = a₁ . r ^n-1

a₈ = 1 . 2 ^8-1

a₈ = 1 . 2 ⁷

a₈ = 1 . 128

a₈ = 128

EJEMPLO 2: ¿Son geométricas las siguientes progresiones? En caso afirmativo, ¿cuáles son sus razones?

                                     1°)    1, 3, 9, 27, 81, …                         2°)    1, 2, 1, 2, 1, …..

Solución: La primera SI es una progresión geométrica, porque su razón r = 3

Solución: La segunda NO es una progresión geométrica, porque su razón es diferente.

EJEMPLO 3: Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

                        1°) 1, 5, 25, 125, …..       2°) 2, -4, 8, -16, ……

SOLUCION:

Para ambas necesitamos usar la formula del término general:

 a_n = a₁ . r ^n-1

Luego, hallamos la razón de cada una, para aplicarla:

En la PRIMERA: La razón es “5”, porque:

Luego reemplazamos en la fórmula:

a_n = a₁ . r ^n-1

a_n = 1 . 5 ^n-1

a_n = 5 ^n-1

En la SEGUNDA: La razón es “-2”, porque:

Luego reemplazamos en la fórmula:

a_n = a₁ . r ^n-1

a_n = 2 . (-2) ^n-1

 

EJEMPLO 4: El tercer término de una progresión geométrica es a₃ = −25 y la razón es r = −5. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

Usamos la fórmula: a_n = a₁ . r ^n-1

 Como “n” = 3 y al reemplazar los datos en la fórmula, tenemos que, el término general es:

a₃ = a₁ . (-5) ^3-1

-25 = a₁ . (-5) ²

-25 = a₁ . (25)

a₁ = -25/25

a₁ = -1

Por lo tanto, el primer término es a₁ = −1

 

EJEMPLO 5: Si a₅ = 80 y a₆ = 160 ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

Como los términos son consecutivos, podemos calcular la razón fácilmente:

r =  a₆ / a₅

r =  160 / 80

r =  2

Luego aplicamos la fórmula del término general:     a_n = a₁ . r ^n-1

Como conocemos r = 2 ,  a₅ = 80 y n = 5 entonces podemos calcular a₁, reemplazando datos:

a₅ = a₁ . (2) ^5-1

80 = a₁ . (2) ⁴

80 = a₁ . (16)

a₁ = 80 / 16

a₁ = 5

Por lo tanto, el primer término de la progresión es a₁= 5.

EJEMPLO 6: El 2° y 4° término de una P.G son a₂ = 4,5 y a₄ = 10,125 ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

Sea “r” la razón de la progresión. Entonces, el tercer término es:

a₃ = a₂ . r

a₃ = 4, 5 . r

 

Y el cuarto término es:

a₄ = a₃ . r

a₄ = (4,5 . r) . r

a₄ = 4,5 . r²

 

Como sabemos que a₄ = 10,125 tenemos:

a₄ = 4,5 . r²

10,125 = 4,5 . r²

r² = 10,125 / 4,5

r² = 2,25

r =

r = ± 1,5

Tenemos dos posibles razones: r = 1,5  y r = −1,5

Por lo tanto, tenemos dos soluciones porque hay dos progresiones geométricas que cumplen.

 

EJEMPLO 7: El primer y el tercer término de una progresión geométrica son a₁= −2 y a₃ = −2 ¿Cuál es la razón?

SOLUCION

Sea “r” la razón de la progresión. Entonces:

El segundo término es:

a₂ = a₂ . r

a₂ = -2 . r

El tercer término es:

a₃ = a₂ . r

a₃ = (-2 . r) . r

a₃ = -2 . r²

Como a₃ = −2, entonces:

a₃ = -2 . r²

-2 = -2 . r²

r² = -2 / -2

r =

r = ± 1

 

Tenemos dos posibles soluciones: r = 1 y r = −1. Esto es porque hay dos progresiones geométricas cuyos primer y tercer términos son iguales.

 

 

TERCERA PARTE:

3.1.- VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

1º.- LAS SUCESIONES.

https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg

2°. – LA PROGRESION GEOMETRICA (PG).

https://www.youtube.com/watch?v=xuPT3XJ76qw

 

3° .- PROBLEMAS DE APLCIAICON DE LA PG.

https://www.youtube.com/watch?v=gst_k7H_pPk

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo siguiente:

4.1.- CUESTIONARIO:

1°) ¿Qué es una sucesión?

2°) ¿Cómo se llama cada elemento de la sucesión?

3°) ¿Cómo se llama el criterio a partir del cual se determinan los términos de una sucesión?

4°) ¿Qué posición ocupa el término general de una sucesión?

5°) ¿Qué es una progresión geométrica?

6°) ¿Qué es una razón?

 

4.2.- SOBRE SUCESIONES.

A) Completa los siguientes recuadros, según tu creación (RF, términos):

EJERCICIOS PROPUESTOS:

 B.- TÉRMINO GENERAL: Completa los siguientes recuadros, según tu creación:

C) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de ella sí: “Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa”:

2. Escribe la regla de formación de la siguiente sucesión: 3, 8, 13, 18, ...

3. Escribe los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de los números naturales.

4. Calcula los CUATRO primeros términos de la sucesión de término general: a_n = n / (n+1)

5. Escribe los CINCO primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: “Cada término es la suma de los dos anteriores” a₁ = 3 y a₂ = 7

6. Escribe el término general de estas sucesiones:

                a) 2, 3, 4, 5, 6, ....                                   b) 2, 4, 8, 16, 32, ....

 

4.3. SOBRE PROGRESION GEOMETRICA.

A) Definición. Regla de formación: Completa dos en los recuadros siguientes, según tu creación:

EJERCICIOS PROPUESTOS:

 

B) TÉRMINO GENERAL:

 1°) Completa:

 

2°) Completa los siguientes recuadros, según tu creación:

EJERCICIOS PROPUESTOS DE P.G.

QUINTA PARTE: Actividades de reflexión.

Después de haber aplicado la P.G, reflexiona con tus compañeros respondiendo las siguientes preguntas:

5.1.- TERMINO DEL TRABAJO:

¿Qué situación o situaciones te fueron más fáciles de resolver?

¿Qué situación o situaciones necesitaron mayor esfuerzo de tu parte para resolverlas?

¿Qué hiciste para superarlas?

¿En qué aspectos crees que debes seguir mejorando? Explica.

Escribe un compromiso en relación con las actividades que desarrollaste.

¿Cómo te has sentido al participar de la estrategia en aula presencial?

5.2.- METACOGNICIÓN: Responder en sentido personal, a las siguientes preguntas:

¿Qué aprendí?, ¿Cómo aprendí? , ¿Para qué aprendí?, ¿Cómo me gustaría aprender?

 

SEXTA PARTE:

5.1.- RETO:

Considerando la situación significativa, y usando la tabla adjunta, completa los datos que da NAYELI del habito adoptado para tener un IMC adecuado y luego identificar: ¿Cuál es el primer término?, ¿Cuál es la razón? , ¿Cuál es el quinto termino?  Y ¿Cuál es el último término?

 

dias	1	2	3	4	5
Granos de arroz

 

5.2.- ENVIO: El RETO 1 la entrega es presencial y el RETO 2 a través de una captura al grupo del WhatsApp.

 

¡ BUENA SUERTE ¡

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

“Educar es más que dar carrera para vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las injusticias” –PITÁGORAS