SESION 4-P3-MAT

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”

 

MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº4-P3.MAT.3º

 

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DE LA SESION:

“Simplificamos Sistemas de ecuaciones lineales” 

 

1.2.- PROPOSITO DE LA SESION:

PROPONER sistemas de ecuaciones y hallar el valor de sus variables.

 

1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.

MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos” de Monsefú, se siente interesada en hallar el valor de elementos desconocidos que contaminar el medio ambiente o ayudan a prevenirlos.

¿Cómo podríamos ayúdale? ¿Qué conocimientos necesitamos para compartir con ella?

SEGUNDA PARTE: “LECTURAS”

2.1.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Dos ecuaciones lineales, con dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. También conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado).

Puede estar formado por 2 ó tres incógnitas o variables.

Ejemplo:

2.2.- CONJUNTO SOLUCION.

Consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones simultáneamente.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en: procesamiento digital de señales; análisis estructura, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal; así, como en La aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

2.3.- METODOS DE SOLUCION.

2.3.1.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

Se resume en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.

b) En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita).

c) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita.

d) Resolver la ecuación obtenida.

e) Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita.

EJEMPLO: Hallar los valores de “x” e “y” en el siguiente sistema.

5x – 2y = 4 ……….. α

3x + y = 9 ………… β

 

SOLUCIÓN:

•  Si en β suponemos conocida la "x", obtenemos: y =  9 - 3x ……δ ; y la solución general de esta ecuación está dada por el par (x; 9 - 3x).

•  Sustituida β en α , tendrá que verificarse la igualdad: 5x - 2 (9 - 3x) = 4

•  Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita que podemos resolver fácilmente:

5x - 2 (9 - 3x) = 4

5x - 18 + 6x = 4

11x  = 22

x = 2

Si ahora sustituimos el valor de "x" en δ, podemos hallar el correspondiente valor de "y":

y =  9 - 3x ……δ

y = 9 – 3(2)

y = 9 - 6

y = 3

La solución del sistema vendrá dada por el par (2; 3).

2.3.2.- MÉTODO DE IGUALDAD.

Podríamos resumir este método de igualación en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.

b) Despejar en las ecuaciones la misma variable.

c) Igualar las dos expresiones de la variable despejada.

d) Resolver la ecuación obtenida.

e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita.

EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema:

SOLUCIÓN:

Al aplicar este método, también conviene observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones, en este caso es "x". Se tiene así:

De (1) :           

x + 3y = 10

x = 10 - 3y ......... (3)

De (2) :    

2x + (1/4) y = 1     

2x = 1 – (5/4) y

x = [1 – (5/4) y] 2 ......... (4)

Igualamos los segundos miembros de (3) y (4) ; es decir:

10 – 3y = [1 – (5/4) y] 2

2(10 – 3y) = 1 – (5/4) y

20 – 6y = 1 – (5/4) y

(5/4) y – 6y = 1 – 20

(5/4) y – (24/4)y = -19

- (19/4)y = -19

- 19y = 4(-19)

y = 4(-19)/(-19)

y = 4

Sustituimos valor de “y” en la expresión (3) o en la (4). En nuestro caso es más cómodo en la (3).

Es decir:         

x = 10 - 3y ......... (3)

x = 10 - 3(4)

x = 10 – 12

x = - 2

Luego la solución es:  ( -2; 4)

2.3.3.- MÉTODO DE REDUCCIÓN.

Es el más usado, llamado también de eliminación, se resume en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.

b) Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.

c) Sumar las dos ecuaciones, miembro a miembro.

d) Resolver la ecuación obtenida.

e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.

EJEMPLO 1: Resolver:

SOLUCION:

Para eliminar "y", basta multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y sumar ordenadamente:

X = 41/17

Para eliminar "x", podemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, y como tiene igual signo cambiamos de signo a todos los términos de la primera:

X = - 1/17

Por lo tanto, la solución es: (41/17 ; -1/17)

 

EJEMPLO 2: Resolver el sistema:

SOLUCION

En (2) despejamos "x":

x + 5y + 3z = 5

x = 5 - 5y - 3z ….. (4)

Sustituimos el valor de “x”, en (1) y (3):

En (1):

3x – 4y – 2z = 2

3( 5 - 5y - 3z) - 4y - 2z = 2     

15 – 15y -9z -4y – 2z = 2

15 – 19y – 11z = 2

-19y - 11z = -15 + 2

-19y - 11z = -13 …….. (5)

En (3):

2x + y – z = 11

2(5 - 5y - 3z) + y - z = 11       

10 – 10y – 6z + y – z = 11

-9y - 7z = 1  …….. (6)

Con estas 2 nuevas ecuaciones (5) y (6), forman un nuevo sistema, multiplicando por (-7) y (11) respectivamente:

-19y - 11z = -13

-9y - 7z = 1

(-7)      -19y - 11z = -13

(11)      -9y - 7z = 1

133y + 77z = 91

-99y - 77z = 11

34y + 0 = 102

y  = 102/34

y  = 3

Reemplazando valor de “y” en (5):

-9y - 7z = 1 

-9(3) – 7z = 1

-27 -7z = 1

-27 - 1 = 7z

-28/7 = z

 z = -4

Reemplazamos valores de “y” , “z” en (4):

x = 5 - 5y - 3z ….. (4)

x = 5 – 5(3) – 3(-4)

x = 5 – 15 +12

x = 2

POR TANTO: La solución del sistema será: (x; y; z) =  (2; 3; - 4)

 

TERCERA PARTE:

3.1.- VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:

3.1.1.- SISTEMA DE ECUACIONES:

https://www.youtube.com/watch?v=oQQfG1zIPMc&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

 3.1.2.- METODOS DE SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES:

https://www.youtube.com/watch?v=P_NBQQzM1UU&ab_channel=FUNANDEASY

3.2.- VISITAR: Blog (saelmatematico.blogspot.com,)

 

CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo siguiente:

4.1.- CUESTIONARIO:

1º.- ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES?

Conjunto de ecuaciones de primer grado.

2º.- ¿CÓMO SE REPRESENTAN LAS VARIABLES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES?

Con las letras del abecedario: x, y, z

3º.- ¿QUÉ ES EL METODO DE SUSTITUCION?

Es en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

4º.- ¿QUÉ ES EL METODO DE IGUALDAD?

Es despejar en las ecuaciones la misma variable y luego igualar las dos expresiones de la variable despejada.

5º.- ¿QUÉ ES EL METODO DE REDUCCION?

Es buscar de que los coeficientes de una incógnita sean opuestos, para eliminarlos.

 

4.2.- PROBLEMAS:

PROBLEMA 1.- Encontrar dos botes de basura cuya suma de sus residuos sea 45 y resta de sus residuos sea 21.

SOLUCION:

Sean “x” e “y” botes de basura. Como la cantidad de sus residuos de ambos deben sumar 45 y restar 21 tenemos:

Se aplica cualquier método, que te parezca más fácil:

X + Y = 45

X - Y = 21

--------------------------

2x +0 = 66

X = 66/2

X = 33

Reemplazamos el valor de “x” en la primera:

X + y = 45

33 + y = 45

Y = 45 – 33

Y = 12

Por lo tanto la solución es: (33 ; 12)

PROBLEMA 2.- Hallar un producto alimenticio, cuyo precio tiene dos cifras, sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.

SOLUCION:

X + Y = 12

X = 3Y

Si “x” es la primera cifra e “y” es la segunda, entonces tenemos el sistema

Resolvemos el sistema por sustitución:

X + y = 12

3y + y = 12

4y = 12

Y = 12: 4

Y = 3

Calculamos “x” sustituyendo valor de “y”:

X = 3y

X = 3(3)

X = 9

Por tanto, el número es 93.

 

PROBLEMA 3.- El recibo por pago de recojo de basura del mes pasado, ascendió a un total de S/.39 por un recojo de 80 botes, mientras que la de este mes asciende a S/.31,5 por un recojo de 55 botes. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento de vehículos) más un precio fijo por botes para recojo. Calcular la tasa y el precio por cada bote de basura.

SOLUCION

Si el importe de la tasa fija es “x” y el de un Bote para recojo es “y”, el importe total de la primera factura se descompone como: x + 80y = 39

Del mismo modo, el de la segunda factura se descompone como: x + 55y = 31,5

 El sistema de ecuaciones del problema es:

X + 80Y = 39

X + 55Y = 31,5

Resolvemos por el método de reducción restando las ecuaciones:

25y = 7,5

Y = 7,5/25

Y = 0,3

Calculamos “x” sustituyendo el valor de “y” en la primera ecuación:

X + 80y = 39

X + 80(0,3) = 39

X + 24 = 39

X = 39 -24

X = 15

Por tanto, la tasa fija de mantenimiento es S/.15 y el precio por recojo de un bote de basura S/.0,3

PROBLEMA 4.- Al querer consumir productos saludables, la semana pasada compramos SALMON a un precio de 20,7 el kg y GERMEN DE BROCOLI a un precio de 0,7 el kg pagando por ellas un total de S/. 21,40. Sin embargo, esta semana hemos pagado S/. 28 por una compra con la misma cantidad de estos alimentos a un precio de S/. 20 por kilo de SALMON y S/. 1,2 por kilo de GERMEN DE BROCOLI.

Calcular la cantidad de alimentos que se compran.

SOLUCION.

Si “x” e “y” son las cantidades de SALONO y GERMEN DE BROCOLI, respectivamente, la compra de la semana pasada puede descomponerse como: 20,7X + 0,7Y = 21,4

Y la de esta semana como: 20X + 1,2Y = 28

El sistema del problema es:

20,7X + 0,7Y = 21,4

20X + 1,2Y = 28

Como en ambas ecuaciones hay números con decimales, las multiplicamos por 10 para que los números sean enteros y trabajar más cómodamente:

207X + 7Y = 214 ……… 1

200X + 12Y = 280 …….. 2

Resolvemos el sistema por igualación despejando la “x” en las dos ecuaciones para igualarlas.

Primera ecuación:

207X + 7Y = 214 ……… 1

207X  = 214 -7y

X  = (214 -7y)/207  ….. 3

Segunda ecuación:

200X + 12Y = 280 …….. 2

200X = 280 – 12y

X = (280 – 12y)/200   ….. 4

 Igualamos las incógnitas “x” de (3) y (4) y resolvemos la ecuación:

(214 -7y)/207   =  (280 – 12y)/200

(214 -7y) (200)   =  (280 – 12y) (207)  

 42800 - 1400y   =  57960 – 2484y  

2484y  - 1400y   =  57960 –   42800

              1084y   =  15160

                      y   =  15160 : 1084

                       y = 13,96

Calculamos la otra incógnita usando alguna de las ecuaciones anteriores:

X = (280 – 12y)/200   ….. 4

X = [ 280 – 12(13,96) ]/200 

X = [ 280 – 167,52]/200  

X = [112,48]/200  

X = 0,56  

 Por tanto, las cantidades de hortalizas son 0,56 kg de SALMON y 13,96 kg de GERMEN DE BROCOLI.

PROBLEMA 5.- Alberto y su familia, son grandes defensores del medio ambiente. Pero, Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la suya.

SOLUCION.

Si la edad de Alberto es “x” y la de su padre es “y”, sabemos que: x + 25 = y   …. 1

Edad del padre: x + 15 y edad del hijo: y + 15

Dentro de 15 años, la edad de Alberto será:  x+15x+15 y la de su padre será y+15y+15.

Si para entonces la edad del padre, es el doble que la de Alberto, tenemos:

2 ( x + 15) = (y + 15)

2x + 30 = y + 15

2x  = y + 15 - 30

2x = y – 15  ….. 2

El sistema de ecuaciones es:

Resolvemos el sistema por sustitución. Como tenemos despejada la “y” en la primera ecuación, sustituimos en la segunda:

2x = y – 15  ….. 2

2x = x + 25 – 15

2x – x = 10

X = 10

Por tanto:  Alberto tiene 10 años.

PROBLEMA 6.- Una tienda dedicada a la venta de botes para basura, dispone de 32 botes verdes y de 50 botes amarillos cuya venta supone un total de S/. 14 600. Sin embargo, sólo sea han vendido 10 botes verdes y 40 botes amarillos, obteniendo un total de S/. 7000. ¿Cuál es precio de un bote verde?

SOLUCION:

Supongamos que el precio de un bote verde es “x” y que el precio de un bote amarillo es “y”.

El dinero que corresponde a la venta de todos los botes verdes es 32⋅x y el que corresponde a los botes amarillos 50⋅y.

Si se venden todos los botes, la suma de los ingresos es S/.14600:

32x + 50y = 14 600

Pero sólo se han vendido 10 botes verdes y 40 botes amarillos por un total de S/. 7.000:

10x + 40y = 7000

El sistema de ecuaciones es:

32X + 50Y = 14 600

10X + 40Y = 7000

Resolvemos el sistema por igualación despejando una de las dos variables en ambas ecuaciones para igualarlas:

De la primera ecuación:

32x + 50y = 14 600

32x  = 14 600 -50y

32x  = 14 600 - 50y

x  = (14 600 – 50y):32

De la segunda ecuación:

10x + 40y = 7000

10x + 40y = 7000

10x   = 7000 - 40y

x   = (7000 - 40y) : 10

x   = 700 - 4y

Igualamos: (14 600 - 50Y): 32 = 700 - 4Y

Resolvemos la ecuación:

14 600 – 50y = 32(700 - 4y)

14 600 – 50y = 22400 - 128y

128y - 50y = 22400 - 14 600

78y = 7800

y = 100

Calculamos “x” sustituyendo el valor de “y” en una de las ecuaciones que teníamos:

x   = 700 - 4y

x   = 700 – 4(100)

x   = 700 - 400

x   = 300

Por tanto, el precio de un bote verde S/. 300 y el de un bote amarillo es S/.100.

 

QUINTA PARTE:

5.1.- EVALUACION DE CONTROL: QUIZIZZ.

5.2.- EVALUACION DE PROCESO: PIZARRAS (Whiteboard.fi)

 

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: “PROPONER un sistema de ecuaciones con 2 variables, encontrando sus valores respectivos”.

6.2.- ENVIO: A través de WhatsApp.

 

 

 

 

......................................................

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR