“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”
MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº5-P3.MAT.3º
PRIMERA PARTE:
1.1.- DENOMINACION
DE LA SESION:
“Hallamos los puntos de intersección de
funciones lineales”
1.2.- PROPOSITO DE
LA SESION:
HALLAR
el punto de intersección de un sistema de ecuaciones.
1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.
MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos”
de Monsefú, desea ubicar a dos vecinos su punto de encuentro para almacenar la
basura común.
¿Cómo
podríamos ayúdale? ¿Qué conocimientos necesitamos para compartir con ella?
SEGUNDA PARTE:
“LECTURAS”
2.1.- FUNCIONES LINEALES (RECTAS).
Una función
lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene
la siguiente forma:
f(x) = mx + nòy = mx + n
DONDE:
“m” es la pendiente de
la función, o coeficiente.
“n” es la ordenada (en el origen) de la función.
La
gráfica de una función lineal es siempre una recta.
2.2.- EL PUNTO
DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS.
La intersección de dos rectas, es el
punto donde éstas se cortan (único punto)
y se calcula igualando sus ecuaciones. Al resolver la ecuación resultante, se
obtienen las coordenadas del punto de corte.
Las rectas paralelas (las que tienen la misma pendiente)
no se cortan (no hay intersección).
Las RECTAS se expresan
de la siguiente forma:
Donde:P0 = (x0 , y0)es el punto de intersección de ambas.
EJEMPLO 1: Calcule el punto de intersección entre las rectas:
SOLUCION:
Para esto definimos nuestro sistema de
ecuaciones lineales:
Igualamos las dos expresiones que definen
estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable “x”:
3x
– 3 =
-x + 1
3x
+ x =
1 + 3
4x
= 4
X
=
4/4
X = 1
Sustituyendo el valor de “x” en recta:
(1):
Y = 3x – 3
Y = 3(1) – 3
Y = 3 – 3
Y = 0
Por lo tanto, concluimos que el punto de
intersección entre ambas es: P0
= (1 , 0) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.
Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente
los puntos de corte con los ejes.
Ejemplo 2: Calcule el punto de intersección entre las rectas: L1:
y = x + 5yL2: y = 2
SOLUCION:
En este caso es necesario plantear un
sistema de ecuaciones, pues L2es una recta horizontal,
simplemente sustituimos el valor en L1.
y = x + 5
2 = x + 5
2 – 5 = x
X = - 3
Por lo tanto, concluimos que el punto de
intersección entre ambas, es: P0
= (-3 , 2) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.
Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente
los puntos de corte con los ejes.
Ejemplo 3: Calcule el punto de intersección entre las rectas:
SOLUCION:
En este caso
es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser L2 una recta vertical,
simplemente sustituimos el valor en L1:
Y =
-1/5(x) + 2
Y =
-1/5(-1) + 2
Y = 1/5 +
2
Y = 11/5
Por lo
tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas, es: P0 = (-1 , 11/5)y podemos además, ubicarlo en el plano
cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando
únicamente los puntos de corte con los ejes.
Ejemplo 4: Calcule el punto
de intersección entre las rectas:
SOLUCION:
En este caso es necesario plantear un
sistema de ecuaciones, pues al ser L1
una recta horizontal y L2
una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de
intersección entre ellas dos es:
P0
= (4 , -3) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.
Ejemplo 7: Calcule el punto de intersección entre las rectas:
SOLUCION:
Para esto
definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales:
L1: 3x – 5y + 2 = 0
L2: x + y – 2 = 0
Si
multiplicamos la segunda ecuación por 5 obtenemos:
L1: 3x – 5y + 2 = 0
L2: 5x + 5y – 10 = 0
8x +0y – 8 = 0
Considerando
la ecuación resultante, podemos despejar la variable “x” y así obtener el valor
de x0 de nuestro punto de intersección.
8x +0y – 8 = 0
8x +0 = 8
x= 8/8
x= 1
De esta
forma, podemos reemplazar el valor de “x” en L2: (se usa
siempre la variable positiva)
L2: x + y – 2 = 0
1 + y – 2 = 0
y – 1 = 0
y= 1
Por lo
tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas L1 y L2 es:P0 = (1 , 1) y podemos además, ubicarlo en el plano
cartesiano.
Graficamos
ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos
de corte con los ejes.
TERCERA PARTE:
3.1.- VIDEOS DE REFURZO:Ingresar a los siguientes links y analizar:
3.1.1.- PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE
DOS FUNCIONES:
CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo
siguiente:
4.1.-PROBLEMAS PROPUESTOS:
P1.- En mi barrio, tengo dos vecinos que siempre compiten en
arrojar sus basuras, vecino 1 ha dejado una línea de basura: 3y – 5x = -9 y el vecino 2: x + y = 5 ¿Cuál sería el punto donde los dos
arrojan la basura? GRAFICARLO.
a) (1 , 2) b) (2 , 2) c)(3 , 3) d) (3 , 2) e) N.A
P2:Dos
compañeros de aula, deciden ir al mercado a comprar productos saludables¿Cuál sería su punto de encuentro, si el 1º señala una ruta a seguir de: 2x –y – 1 = 0 y el 2º señala: x – y + 1 = 0?
Graficar el punto de encuentro.
a) (1 , 2) b) (2 , 3) c)(3 , 3) d) (3 , 2) e) N.A
P3:Dos camiones cargados de basura,
salen de la ciudad de Monsefú, con diferentes rutas:
R1: x + y = 3 y R2: 3x
– 2y = 4¿Cuál seria el punto
donde se encuentra para arrojar la basura?
a) (2 , 1) b) (2 , 2) c)(3 , 3) d) (3 , 2) e) N.A
QUINTA PARTE: EVALUACION DE CONTROL.
5.1.- QUESTIONARIO QUIZIZZ.
1.- ¿Qué es una función lineal?
2.- Si una función lineal, es una RECTA ¿Cuál es su fórmula?
3.- ¿Qué es la pendiente de una función?
4.- ¿Cómo se representa la ordenada de una función, en su
fórmula original?
5.- ¿Cómo se representa el punto de intersección de dos rectas?
5.2.- EVALUACION DE PROCESO: PIZARRAS
(Whiteboard.fi)
PROBLEMA 1.- Uno de los problemas
propuestos.
SEXTA PARTE:
6.1.- RETO: Plantear
un sistema de ecuaciones con problemas de su entorno y encontrar sus PUNTOS DE
INTERSECCION.
“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”
MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº4-P3.MAT.3º
PRIMERA PARTE:
1.1.- DENOMINACION
DE LA SESION:
“Simplificamos Sistemas de ecuaciones
lineales”
1.2.- PROPOSITO DE LA
SESION:
PROPONER sistemas de ecuaciones y hallar el valor de sus variables.
1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.
MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos”
de Monsefú, se siente interesada en hallar el valor de elementos desconocidos
que contaminar el medio ambiente o ayudan a prevenirlos.
¿Cómo
podríamos ayúdale? ¿Qué conocimientos necesitamos para compartir con ella?
SEGUNDA PARTE:
“LECTURAS”
2.1.- SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES.
Dos ecuaciones lineales, con dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales. También conocido como sistema
lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es
de primer grado).
Puede estar
formado por 2 ó tres incógnitas o variables.
Ejemplo:
2.2.- CONJUNTO
SOLUCION.
Consiste en
encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones
simultáneamente.
El problema de los sistemas lineales de
ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de
aplicaciones, como en: procesamiento digital de señales; análisis estructura, estimación,
predicción y más generalmente en programación lineal; así, como en La
aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
2.3.- METODOS DE SOLUCION.
2.3.1.- MÉTODO DE
SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una incógnita en
una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.
CUARTA PARTE: Teniendo en cuenta lo leído y visualizado, resuelve lo
siguiente:
4.1.-CUESTIONARIO:
1º.- ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES?
Conjunto de ecuaciones de primer grado.
2º.- ¿CÓMO SE REPRESENTAN LAS VARIABLES
DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES?
Con las letras del abecedario: x, y, z
3º.-
¿QUÉ ES EL METODO DE SUSTITUCION?
Es en despejar una incógnita en una de las
ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.
4º.-
¿QUÉ ES EL METODO DE IGUALDAD?
Es despejar en las ecuaciones la misma
variable y luego igualar las dos expresiones de la variable despejada.
5º.-
¿QUÉ ES EL METODO DE REDUCCION?
Es buscar de que los coeficientes de una
incógnita sean opuestos, para eliminarlos.
4.2.-PROBLEMAS:
PROBLEMA 1.-Encontrar dos botes de basura cuya suma de sus
residuos sea 45 y resta de sus residuos sea 21.
SOLUCION:
Sean
“x” e “y” botes de basura. Como la cantidad de sus residuos de ambos deben
sumar 45 y restar 21 tenemos:
Se
aplica cualquier método, que te parezca más fácil:
X + Y = 45
X - Y = 21
--------------------------
2x +0 = 66
X = 66/2
X = 33
Reemplazamos el
valor de “x” en la primera:
X + y = 45
33 + y = 45
Y = 45 – 33
Y = 12
Por lo tanto la solución es: (33 ; 12)
PROBLEMA 2.-Hallar un producto alimenticio, cuyo precio tiene dos
cifras, sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es
el triple de la segunda.
SOLUCION:
X + Y = 12
X = 3Y
Si “x” es la primera
cifra e “y” es la segunda, entonces tenemos el sistema
Resolvemos el sistema por
sustitución:
X + y = 12
3y + y = 12
4y = 12
Y = 12: 4
Y = 3
Calculamos “x” sustituyendo valor
de “y”:
X = 3y
X = 3(3)
X = 9
Por tanto, el número es 93.
PROBLEMA 3.-El recibo por pago de recojo de basura del mes pasado,
ascendió a un total de S/.39 por un recojo de 80 botes, mientras que la de este
mes asciende a S/.31,5 por un recojo de 55 botes. El importe de cada factura es
la suma de una tasa fija (mantenimientode vehículos) más un precio fijo por
botes para recojo. Calcular la tasa y el precio por cada bote de basura.
SOLUCION
Si el importe de la tasa fija es “x” y el de un Bote para recojo es “y”, el importe total de la primera factura se descompone
como: x + 80y = 39
Del mismo modo, el de la segunda factura
se descompone como: x + 55y = 31,5
El sistema de ecuaciones del problema es:
X + 80Y = 39
X + 55Y = 31,5
Resolvemos por el método de reducción
restando las ecuaciones:
25y = 7,5
Y = 7,5/25
Y = 0,3
Calculamos “x” sustituyendo el
valor de “y” en la primera ecuación:
X + 80y = 39
X + 80(0,3) = 39
X + 24 = 39
X = 39 -24
X = 15
Por tanto, la tasa fija de mantenimiento
es S/.15 y el precio por recojo de un bote de basura S/.0,3
PROBLEMA 4.-Al querer consumir productos saludables, la semana
pasada compramos SALMON a un precio de 20,7 el kg y GERMEN DE BROCOLI a un
precio de 0,7 el kg pagando por ellas un total de S/. 21,40. Sin embargo, esta
semana hemos pagado S/. 28 por una compra con la misma cantidad de estos alimentos
a un precio de S/. 20 por kilo de SALMON y S/. 1,2 por kilo de GERMEN DE
BROCOLI.
Calcular
la cantidad de alimentos que se compran.
SOLUCION.
Si “x” e “y” son las cantidades de SALONO y GERMEN DE BROCOLI,
respectivamente, la compra de la semana pasada puede descomponerse como: 20,7X + 0,7Y =
21,4
Y la de esta semana como: 20X + 1,2Y = 28
El sistema del problema es:
20,7X + 0,7Y = 21,4
20X + 1,2Y = 28
Como en ambas ecuaciones hay números con
decimales, las multiplicamos por 10 para que los números sean enteros y
trabajar más cómodamente:
207X + 7Y = 214 ……… 1
200X + 12Y = 280 …….. 2
Resolvemos el sistema por igualación
despejando la “x” en las dos ecuaciones para
igualarlas.
Primera ecuación:
207X + 7Y = 214 ……… 1
207X= 214 -7y
X= (214 -7y)/207….. 3
Segunda ecuación:
200X + 12Y = 280 …….. 2
200X =
280 – 12y
X = (280 – 12y)/200…..
4
Igualamos las incógnitas “x” de (3) y (4) y resolvemos la ecuación:
(214 -7y)/207=(280 – 12y)/200
(214 -7y)
(200)=(280 – 12y) (207)
42800 - 1400y=57960 – 2484y
2484y - 1400y=57960 –42800
1084y=15160
y=15160
: 1084
y = 13,96
Calculamos la otra incógnita usando alguna
de las ecuaciones anteriores:
X = (280 – 12y)/200…..
4
X = [ 280
– 12(13,96) ]/200
X = [ 280
– 167,52]/200
X = [112,48]/200
X = 0,56
Por
tanto, las cantidades de hortalizas son 0,56 kg de SALMON y 13,96 kg de GERMEN
DE BROCOLI.
PROBLEMA 5.-Alberto y su familia,
son grandes defensores del medio ambiente. Pero, Alberto y su padre se llevan 25 años
de edad. Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de
su padre será el doble que la suya.
SOLUCION.
Si la edad de Alberto es “x” y la de su padre es “y”, sabemos que: x + 25 = y…. 1
Edad del padre: x + 15 y edad del hijo: y + 15
Dentro de 15 años, la edad de Alberto será:
x+15x+15 y la de su
padre será y+15y+15.
Si para entonces la edad del padre, es el
doble que la de Alberto, tenemos:
2 ( x + 15) = (y + 15)
2x + 30 = y + 15
2x= y + 15 - 30
2x = y – 15….. 2
El sistema de ecuaciones es:
Resolvemos el sistema por sustitución.
Como tenemos despejada la “y” en la primera
ecuación, sustituimos en la segunda:
2x = y – 15….. 2
2x = x + 25 – 15
2x – x = 10
X = 10
Por tanto: Alberto tiene 10 años.
PROBLEMA 6.-Una tienda dedicada a la venta de botes para basura,
dispone de 32 botes verdes y de 50 botes amarillos cuya venta supone un total
de S/. 14 600. Sin embargo, sólo sea han vendido 10 botes verdes y 40 botes
amarillos, obteniendo un total de S/. 7000. ¿Cuál es precio de un bote verde?
SOLUCION:
Supongamos que el precio de un bote verde es “x” y que el
precio de un bote amarillo es “y”.
El dinero que corresponde a la venta de
todos los botes verdes es 32⋅x y
el que corresponde a los botes amarillos 50⋅y.
Si se venden todos los botes, la suma de
los ingresos es S/.14600:
32x + 50y = 14 600
Pero sólo se han vendido 10 botes verdes y
40 botes amarillos por un total de S/. 7.000:
10x + 40y = 7000
El sistema de ecuaciones es:
32X + 50Y = 14 600
10X + 40Y = 7000
Resolvemos el sistema por igualación
despejando una de las dos variables en ambas ecuaciones para igualarlas:
De la primera ecuación:
32x + 50y = 14 600
32x= 14 600 -50y
32x= 14 600 - 50y
x= (14 600 – 50y):32
De la segunda ecuación:
10x + 40y = 7000
10x + 40y
= 7000
10x= 7000 - 40y
x= (7000 - 40y) : 10
x= 700 - 4y
Igualamos: (14 600 - 50Y): 32 = 700 - 4Y
Resolvemos la ecuación:
14 600 –
50y = 32(700 - 4y)
14 600 –
50y = 22400 - 128y
128y -
50y = 22400 - 14 600
78y = 7800
y = 100
Calculamos “x” sustituyendo el valor de “y” en una de
las ecuaciones que teníamos:
x= 700 - 4y
x= 700 – 4(100)
x= 700 - 400
x= 300
Por tanto, el precio de un bote verde S/. 300
y el de un bote amarillo es S/.100.
QUINTA PARTE:
5.1.- EVALUACION DE CONTROL:
QUIZIZZ.
5.2.- EVALUACION DE PROCESO:
PIZARRAS (Whiteboard.fi)
SEXTA PARTE:
6.1.- RETO: “PROPONER un sistema de ecuaciones con 2 variables, encontrando sus
valores respectivos”.
