“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”
MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº1-P3.MAT.3º
PRIMERA PARTE:
1.1.- DENOMINACION
DE LA SESION:
“Transformamos y
combinamos objetos”
1.2.- PROPOSITO DE LA
SESION:
DESCRIBIR las
transformaciones de objetos, mediante la combinación traslaciones, rotaciones y
reflexiones. EXPRESAR con dibujos y
con lenguaje geométrico nuestra comprensión sobre las transformaciones
geométricas, aplicadas a una figura para conservar los alimentos o asegurar el
almacenamiento de la basura y prevenir la contaminación ambiental.
1.3.- SITUACION SIGNIFICATIVA.
MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos”
de Monsefú, pretende usar diferentes objetos geométricos para guardar o
contener alimentos y/o basura; para lo cual, pretende practicar sus
transformaciones en el plano.
¿Con
que tipos de figuras geométricas practicaría?
¿Qué
tipos de transformaciones le sugieres?
¿Con
que parte de la figura se realizaría dichas transformaciones?
SEGUNDA PARTE:
“LECTURAS”
2.1.-
FIGURAS GEOMETRICAS
Las figuras geométricas, son el objeto de estudio de la
geometría, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las
propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano.
Una figura geométrica, es un
conjunto no vacío cuyos elementos son puntos; es decir, son superficies delimitadas por líneas (curvas o rectas) o espacios delimitados por superficies. En el
primer caso, se está haciendo referencia a polígonos, círculos, circunferencias,
elipses…; y, en el segundo caso, se está hablando de poliedros.
Debemos destacar también la diferencia entre:
a.- Líneas curvas
cerradas, que serían el círculo y la circunferencia.
b.- Líneas
poligonales cerradas, que son los polígonos.
2.2.- DIMENSIONES DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS:
2.1.- DIMENSION “0” (Adimensional): El punto.
2.2.- DIMENSION “1” (lineales): La Recta (semirrecta
y segmento) y la curva.
2.3.- DIMENSION “2” (planos): Son
1º-El plano;
2º-Delimiotan
superficies (figuras
geométricas en sentido estricto):
a.-Polígonos (triángulos
y cuadriláteros).
b.- Sección cónica: -Elipse (circunferencia), -Parábola y la -Hipérbola.
3º.- Describen
superficies: Son -Superficie de revolución y -Superficie
reglada.
2.3.- EL PLANO CARTESIANO:
El plano cartesiano,
es un sistema que se utiliza para localizar puntos. Está formado por dos rectas
perpendiculares llamadas EJES, cuyo
punto de intersección, recibe el nombre de ORIGEN.
Para identificar
los ejes, se nombran como eje “x” (ABSCISAS) y eje
“y” (ORDENADAS). En
cada eje se establece una escala numérica, de tal forma que en el eje “x” se escriben los valores positivos (+) hacia la derecha del origen y en el
eje “y” hacia arriba del origen. Además, los valores
negativos (-) se escriben hacia la
izquierda del origen en el eje “x” y hacia abajo
del origen en el eje “y”.
En el plano
cartesiano, un punto se representa con un par de números llamados pareja
ordenada que se simboliza (a,b), en donde “a” se
denomina primera componente o abscisa y “b” se llama segunda
componente u ordenada.
Para
representa un polígono en el plano cartesiano, se ubica cada uno de
los vértices y luego se trazan sus lados.
EJEMPLO: Dadas las
siguientes coordenadas, ubicarlas en el plano cartesiano y trazar el polígono,
cuyos vértices son: A= (-2, -4) ; B = (6,-2) ; C = (7,4)
; D = (-8,2)
SOLUCION:
1º) Trazar nuestro
plano cartesiano, con sus respectivas escalas tanto hacia los lados positivos (arriba y derecha) como hacia los lados
negativos (abajo e izquierda).
2º) Ubicamos la
primera coordenada, que nos da el ejercicio, es decir A = (-2,-4), recordemos
que el primer dígito corresponde ubicarlo en el eje “X”, y
el segundo dígito corresponde ubicarlo en el eje “Y”.
3º) Luego, ubicamos
cada una de las coordenadas en el plano cartesiano, de la misma manera como lo
hicimos en el punto anterior.
4º) Por
último, se unen los 4 puntos en el mismo orden en que se ubicaron: primer A,
luego B, luego C y por ultimo D.
2.6.- TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
CARTESIANO:
Para
TESELAR un plano, los polígonos se pueden someter a unos tipos de transformaciones
en el plano llamadas ISOMETRÍAS,
sin cambiar sus características, es decir, sin cambiar la medida de sus lados,
ni de sus ángulos.
Este
tipo de transformaciones, reciben el nombre de transformaciones
rígidas. Hay otra transformación en el plano llamada HOMOTECIA, que conserva la forma; pero, no la longitud de los lados
de la figura.
Las
transformaciones rígidas en el plano,
o isometrías son: TRASLACIÓN, ROTACIÓN y REFLEXIÓN.
2.6.1.- LA TRASLACION: La traslación o translación, es el movimiento de
un cuerpo desde un lugar hacia otro lugar; es decir, una figura
geométrica se desliza hacia arriba, abajo, izquierda o derecha sobre el plano
cartesiano. La figura cambia de locación, pero no cambia su posición; tampoco,
varía su tamaño o forma.
Esto quiere decir que, en el plano cartesiano,
cambiarán las coordenadas para los vértices de la figura.
EJEMPLO 1: Tenemos la figura inicial en el plano cartesiano de
vértices: (-1, 5) , (-1, 2),
(-5, 2) luego su traslación hacia abajo.
(−1,5) → (−1,2)
(−1,2) → (−1,−1)
(−5,2) → (−5,−1)
EJEMPLO 2: Observar la figura y responde
a las preguntas:
a.- ¿Es una
traslación esta figura? ¿Por qué? Sí, porque muestra un deslizamiento.
b.- ¿Cuántas
unidades hacia arriba o hacia abajo se ha movido la figura? 4 unidades hacia abajo, o sea -4
c.-
¿Cuántas unidades hacia la derecha o izquierda se ha movido la figura? 6 unidades hacia la derecha o sea +6
2.6.2.- LA ROTACION: Una rotación, es una
transformación que gira la figura en sentido del reloj o contra el sentido del
reloj, sobre el plano cartesiano. En ambas transformaciones, el tamaño y forma
de la figura se mantiene exactamente igual.
EJEMPLO 1: Una
figura, gira un cuarto de giro o sea 90º, ya sea en sentido del reloj o contra
el sentido del reloj. Cuando giramos la figura, exactamente en la mitad de un
giro, la hemos rotado en 180º . Si la
hacemos girar completamente, la figura rota 360º.
A
(−3,5) → A′ (5,−3)
→ (5 , 3)
B
(−4,4) → B′ (4,−4)
→ (4 , 4)
C
(−3,3) → C′ (3,−3)
→ (3 , 3)
D
(−1,2) → D′ (2,−1)
→ (2 , 1)
E
(−1,4) → E′ (4,−1)
→ (4 , 1)
EJEMPLO 3: Tenemos
la misma figura ¿Qué pasaría si girara los
90º en contra del sentido del reloj?
A (−3,5) → A′ (5,−3) → A′ (−5,−3)
B (−4,4) → B′ (4,−4) → B′ (−4,−4)
C (−3,3) → C′ (3,3) → C′ (−3,3)
D (−1,2) → D′ (2,−1) → D′ (−2,−1)
E (−1,4) → E′ (4,−1) → E′ (−4,−1)
2.6.3.- LA REFLEXION:
LA REFLEXION,
consiste en reflejar una figura con respecto a una recta llamada eje de
reflexión. En una reflexión, cada punto de la figura inicial y su imagen están
a la misma distancia del eje de reflexión, y el segmento que tiene extremos en
un punto y su imagen es perpendicular al eje. También
podemos identificar una reflexión, por el cambio en sus coordenadas; pues, la figura
gira para crear una imagen reflejo de sí misma. Normalmente las figuras se reflejan sobre el eje (x -) o el eje (y-).
En una reflexión
horizontal (izquierda / derecha) o
una reflexión sobre el eje (y-) las
coordenadas de (x -) cambian a enteros
negativos.
EJEMPLO: En este
caso, la figura 2 se refleja sobre el eje (x -). Si comparamos las figuras del primer
ejemplo vértice por vértice, veremos que las coordenadas de (x -) cambian; pero, las de (y-) se mantiene. Esto se debe a que la reflexión se realizó
desde la derecha hacia el eje (x -). Al
reflejar sobre el eje (y-) las
coordenadas de (y-) cambian
y las de (x -) se
mantiene.
Veamos
los puntos, las segundas coordenadas nuevas cambian:
FIG.2:
(-5, 5) → (-5,
-5).
(-3, 5) → (-5,
-5).
(-3, 3) → (-5,
-3).
(-1, 3) → (-5,
-3).
(-1, 1) → (-1, -1).
(-5, 1) → (-5,
-1).
2º.- REFLEXION
HORIZONTAL (izquierda/derecha) o una reflexión sobre el eje (y-):
Veamos
los puntos, las primeras coordenadas nuevas cambian:
FIG.3:
(-4, 6) → (4,
6).
(-3, 1) → (3, 1).
(-6, 2) → (6, 2).
FIG. 1:
(-5, 5) → (5,
5).
(-3, 5) → (3,
5).
(-3, 3) → (3,
3).
(-1, 3) → (1,
3).
(-1, 1) → (1, 1).
(-5, 1) → (5,
1).
3.1.- VIDEOS DE REFURZO: Ingresar a los siguientes links y analizar:
3.1.1.- MOVIMIENTOS
EN EL PLANO:
https://www.youtube.com/watch?v=XfPEGMgBXiM&ab_channel=LauraBuitrago
3.1.2.- ROTACION:
https://www.youtube.com/watch?v=kXwJOefEjJs&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n
3.1.3.- TRASLACION:
https://www.youtube.com/watch?v=QW602kH52Ec&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n
3.1.4.- REFELXION O
AXIAL.
https://www.youtube.com/watch?v=Z8FWFvfNcsY&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n
4.1.- ACTIVIDADES:
4.1.1.- Dibuja los tipos de tapers para almacenar o guardar
alimentos, señalando la forma geométrica de su base que popdrian tomar.
4.1.2.- Dibuja los tipos de botes para recoger basura, según la
forma geométrica que popdrian tomar, se4ñalando la forma de su base.
4.2.- EJERCICIOS A RESOLVER: Paginas desde el 107 al 118 del “CUADERNO DE TRABAJO 3”
4.3.- PROBLEMAS PROPUESTOS:
4.3.1.- Si un bote de basura, tiene
una base de la forma de un ΔABC, ha dejado una marca en el plano de puntos A
(2,8), B (4,3) y C (6,7), se le aplica una TRASLACIÓN
de vector z (3, 4), entonces ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos
vértices para el ΔABC después de la TRASLACIÓN para otra calle? Graficarlo.
SOLUCION
Usamos como base el vector z (3, 4):
A (2,8) = 2 + 3 = 5 y 8 + 4 =
12 → A’ (5,12)
B (4,3) = 4 + 3 = 7 y 3 + 4
= 7 → B’ (7,7)
C (6,7) = 6 + 3 = 9 y 7 + 4 =
11 → C’ (9,11)
4.3.2.- Mi mamá compró un bote
para recoger la basura, de base cuadrangular y dejó una huella en el plano con
puntos A (-4,3), B (-3,5) , C (-1,2) y D (-2,1)
¿Graficar y hallar la REFLEXION de dicha base?
SOLUCION
Al graficar tendremos:
A (-4,3) → A’ (4,3)
B (-3,5) → B’ (3,5)
C (-1,2) → C’ (1,2)
D (-2,1) → D’ (2,1)
4.3.3.- El señor alcalde de
distrito de Monsefú, ordena ROTAR 90º
en sentido contrario a las manecillas del reloj, a un contenedor de basura que
tiene la forma de triángulo, cuyos puntos en el plano son: A (3,2), B (4,6) y C
(7,1) ¿Hacer un gráfico, señalando
la ubicación final de dicho contenedor?
SOLUCION
Al graficar tendremos:
A (3,2) → A’ (2,3) → A’
(-2,3)
B (4,6) → B’ (6,4) → B’ (-6,4)
C (7,1) → C’ (1,7) → C’ (-1,7)
QUINTA PARTE:
5.1.- RETO: Hacer un solo
plano cartesiano, considerado un solo gráfico con la figura de cualquiera de
los tres problemas propuestos, aplicando:
a.- ROTAR 90º en
sentido contrario a las manecillas del reloj,
b.- TRASLACION hacia
la derecha.
c.- REFLEXION
vertical hacia abajo.
5.2.- ENVIO: A través
de WhatsApp.
ANEXO 2
1.- “QUIZIZZ”: Control de lecturas y videos
2.- PARA
“PIZARRAS”: Ejercicios del cuaderno de trabajo y problemas
propuestos.
Vallejos MARRUFO, Elías.
PROFESOR
“Educar es más que dar carrera para
vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las
injusticias” –PITÁGORAS
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