SESION 5-P4-MAT.3

 

ANEXO 1

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”

MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº5-P4.MAT.3º

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DEL PROYECTO BIMESTRAL-P4:

"Desde la matemática desarrollamos EMPRENDIMIENTO en familia y comunidad para fortalecer la economía en nuestro hogar, con actividades auténticas".

1.2.- DENOMINACION DEL PROYECTO DE GRADO:

"Producción y venta de yogurt, vinagre, vino y encurtidos".  

1.3.- DENOMINACION DE LA SESION 5:

“Descubrimos la regla de formación de una P.G”

 

SEGUNDA PARTE:

2.1.- PROPOSITO DE LA SESION:

EXPRESAR la reglas de formación en una progresión geométrica.

2.2.- SITUACION SIGNIFICATIVA:

MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos” de Monsefú, ha puesto a la venta una serie de productos, de su negocio emprendedor; pero, no puede determinar la cantidad exacta de venta, en un día y mes determinado ¿Cómo podemos ayudarla? ¿Qué nociones debe adquirir?

 

TERCERA PARTE: “LECTURAS”

3.1.- SUCESION:

Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos, llamados términos. Cada término de la sucesión se representa con una letra minúscula con subíndice. a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a_{6, etc. (Se lee: a sub.1, a sub.2, etc)}.

EJEMPLO:

► En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, …

a₁ = 2 indica que el primer término de la sucesión es el 2

a₂ = 7 indica que el segundo término de la sucesión es 7

a₃ = 12 indica que el tercer término es el 12

a₄ = 17 es el cuarto término, etc.

3.2.1.- TIPOS: Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término. Una sucesión es INFINITA si tiene primer término, pero no tiene último término.

Ejemplo

► La sucesión 5, 10, 15, 20, 25 es finita. Su primer término es a₁ = 5 y el último a₅ = 25.

► La sucesión 2, 7, 12, 17, 22, ….…  Es infinita. Su primer término es a₁ = 2 y no tiene último.

3.2.2.- TERMINOS DE UNA SECESION: Los términos de algunas sucesiones, se pueden determinar siguiendo un criterio, que se denomina “REGLA DE FORMACIÓN”, que relaciona cada término con el lugar que ocupa.

EJEMPLO: Las dos reglas fundamentales son:

► Sumar una misma cantidad. En la sucesión: 2, 7, 12, 17, 22, 27 … cada término es el anterior más 5.

► Multiplicar por una misma cantidad. En la sucesión: 3, 9, 27, 81, 243, 729… cada término es el anterior por 3.

En una sucesión, el término que ocupa una posición cualquiera, “n”, se llama TÉRMINO GENERAL y se escribe a_n.

EJEMPLO: La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … es la formada por los números pares.

El término general de esta sucesión es a_n = 2 · n.

Tenemos:

a₁ = 2 · 1 = 2

a₂ = 2 · 2 = 4

a₃ = 2 · 3 = 6,

…

a_n = 2 · n

 

3.2.- PROGRESIONES GEOMÉTICAS.

3.2.1.- DEFINICION: Una progresión geométrica, es una SUCESIÓN en la que cada término, salvo el primero, se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija “r”, llamada RAZÓN de la progresión.

Ejemplo

► 5, 15, 45, 135, 405, … es una progresión geométrica de razón 3. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3. a1 = 5, a2 = 5 · 3 = 15, a3 = 15 · 3 = 45, …

3.2.2.- TERMINOS: El término general de una progresión geométrica es:

a_n = a₁ · r ^n-1

Donde a₁ es el primer término, y r, la razón.

Ejemplo

► Si se conoce el primer término a₁ = 5 y la razón es r = 3, entonces podemos conocer el término general de esa sucesión: a_n = 5 · 3 ^{n – 1}

Y cualquier valor concreto de la sucesión, por ejemplo, el término a5 es:

a₅ = 5 · 3 ^{5 – 1} = 5 · 3 ⁴ = 5 · 81 = 405

3.2.3.- SUMA DE UNA PROGRESION GEOMETRICA.

En una progresión geométrica, la suma de los n primeros términos es: Sn = a1 · a2 + a3 + … + an-1 + an =

S = (a_n.r – a₁) / r – 1       ó       S = (a₁.rⁿ - a₁)/r-1

EJEMPLO 1:

► En la progresión geométrica 5, 15, 45, 135  la suma de términos es:

SOLUCION

Donde: a₁ = 5   ; a_n = 135

La razón es: 3; porque: 3.5 = 15  ; 15.3 = 45; etc.

Como tenemos ultimo termino, usamos la primera formula.

Reemplazamos:

S = (a_n.r – a₁) / r – 1 = (135 . 3 - 5)/ 3 – 1 = 400/2  = 200

 

EJEMPLO 2:

En una progresión geométrica el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 29524 ¿Cuántos términos tiene?

SOLUCIÓN

Formamos la PG: 1, 3, 9, …..

Como no tenemos la ultimo termino, usamos la segunda formula:

Donde:

a₁= 1

r = 3

(a₁.rⁿ - a₁)/r-1 = (1 . 3ⁿ - 1)/3-1 =

29524 = 3ⁿ - 1/2

59048 = 3ⁿ - 1

59049 = 3ⁿ

3¹⁰ = 3ⁿ

Como los coeficientes son iguales, entonces los exponentes serán iguales.

Luego: n = 10

 

3.3.- PROBLEMAS RESUELTOS.

P1.- Calcular la RAZÓN de la progresión: 1, 2, 4, 8, 16, ……...

SOLUCION

En una Progresión geométrica, la RAZON suele denotarse por “r” y se calcula dividiendo un término entre el término anterior:

Entonces tenemos:

Por lo tanto, la RAZON es 2.

P2.- Calcular el TERCER y SEXTO término de la sucesión de la progresión: 1, 2, 4, 8, 16, ……...

SOLUCION

 

El término general de la progresión de los ejemplos anteriores es: 

Por lo tanto:

P3.- Calcular la suma de los 8 primeros términos de la progresión de las potencias de 2:

SOLUCION

Podemos calcular la suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica mediante la fórmula: 

Luego: Si “n” = 8  y  r = 2 , reemplazamos en formula:

 

 

P4.- La progresión:12; 6; 3; 1,5; 0,75; …….. la SUMA  de todos sus términos es.

SOLUCION

Tenemos que: r = 0,5 y cuyo primero término es a₁ = 12,

Si una progresión geométrica tiene una razón “r” entre −1 y 1 (es decir, |r| <1 ), podemos sumar todos los términos de la progresión infinita mediante la fórmula: S _ꝏ = a₁ / 1 - r 

Entonces reemplazando.

S _ꝏ = a₁ / 1 - r   = 12/1 – 0,5 = 12/ 0,5 = 24

 

P5.- Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión geométrica con razón r = 0,5 y cuyo primero término es a₁ = 16.

SOLUCION

Usamos la fórmula para sumar los primeros términos:

 S_n = a₁ [(rⁿ – 1)/ r – 1) ] =

S₅ = 16 [(0,5⁵ – 1)/ 0,5 – 1) ] 

S₅ = 16 [(0,03125 – 1)/ -0,5 ] 

S₅ = 16 [-0,96875/ -0,5 ] 

S₅ = 16 [1,9375] 

S₅ = 31

 

P6.- El tercer término de una progresión geométrica es a₃ = −25 y la razón es r = −5. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

El término general es: a_n = a₁ · r ^n-1

Reemplazando datos:

a_n = a₁ · r ^n-1

a₃ = a₁ · (-5) ^3-1

-25 = a₁ · (-5) ²

-25 = a₁ · 25

a₁ = -25/25

a₁ = -1

 

P7.- El quinto y el sexto término de una progresión geométrica son a₅ = 80 y a₆ = 160. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

Como los términos son consecutivos, podemos calcular la razón fácilmente:

La fórmula del término general es: 

Como conocemos r = 2 y a₅ = 80  , podemos calcular a₁:

Reemplazando:

a₅ = a₁ · (2) ^5-1

80 = a₁ · (2) ⁴

80 = a₁ · (16)

a₁  = 80 /16

a₁  = 5

 

P8.- El lunes Jaime cuenta un secreto a 5 amigos. Al día siguiente, estos 5 amigos cuentan el secreto a otros 5 amigos. Al día siguiente, las nuevas personas que saben el secreto también lo cuentan a otras 5 personas. Y, así, sucesivamente.

Suponiendo que cada persona sólo ha contado el secreto a otras 5, ¿cuántas personas saben el secreto el domingo?

SOLUCION

Construimos una sucesión: el término “a_n” es el número de personas que descubren el secreto en el día número “n”.

El primer día sólo Jaime conoce el secreto: a_{1 =} 1

El segundo día, Jaime cuenta el secreto a 5 amigos: a_{2 =} 5

El tercer día, cada uno de los 5 amigos cuenta el secreto a otros 5, así que el número de personas que se enteran es: a_{3 =} 5 . 5 = 25

Y así, sucesivamente.

Se trata de una progresión geométrica con razón r = 5.

El número de personas que saben el secreto el domingo es S7. Lo calculamos usando:

S_n = a₁ [(rⁿ – 1)/ r – 1) ] =

S₇ = 1 [(5⁷ – 1)/ 5 – 1) ] 

S₇ = 1 [(78124 – 1)/ 4 ] 

S₇ = 1 [78123/ 4] 

S₇ = 1 [19 531] 

S₇ = 19 531

 

 

P9.- Una sucesión geométrica con primer término a₁ = 2 tiene razón r = 0,3. ¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos? ¿Y la suma de todos sus términos?

Sol SOLUCION

Calculamos la suma de los 6 primeros términos:

S₆ = a₁ [(rⁿ – 1)/ r – 1) ] =

S₆ = 2 [(0,3)⁶ – 1)/ 0,3 – 1) ] 

S₆ = 2 [(0,000729 – 1)/ -0,7] 

S₆ = 2 [-0,999271/ -0,7] 

S₆ = 2 [1,42753] 

S₆ = 2,86

Como la razón es |r| < 1, podemos sumar todos los términos de la sucesión:

S _ꝏ = a₁ / 1 - r   = 2/1 – 0,3

S _ꝏ = 2/ 0,7

S _ꝏ =  20 : 7

S _ꝏ ≡ 2,86

 

P.10.- La suma de los primeros 5 términos de una PG con razón r = −2 es S₅=−77. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCION

La suma de los 5 primeros términos es:

Como sabemos que S₅=−77 y que r = −2,, reemplazamos:

-77 = a₁ [(-2)⁵ – 1)/ -2 – 1) ]

-77 = a₁ [(-32 – 1)/ – 3 ]

-77 = a₁ [-33/ -3 ]

-77 = a_{1 .} 11

a_{1  =} -77: 11

a_{1  =} -7

 

 

 

 CUARTA PARTE: VIDEOS DE REFURZO:  Ingresar a los siguientes links y analizar:

4.1.- LA SUCESION:

https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n

4.2.- PROGRESION GEOMETRICA:

https://www.youtube.com/watch?v=q-c5VLWvL6w&ab_channel=SusiProfe

4.3.- TERMINO E-NESIMO:

https://www.youtube.com/watch?v=U-hhp4x4JcE&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

 

 QUINTA PARTE:

5.1.- QUESTIONARIO:

1.- Es un conjunto ordenado de números, objetos o términos

Una sucesión

Conjunto

Números

Conjunto Reunión 

2.- Expresar cual es “a sub siete”

A7

a₇

7ª

a⁷

 

3.- Indica que “el tercer término es el 12”:

A +12

12a = 3

A₃ = 12

a_n = 12 +3

 

4.- ¿Cuál es la razón en: 2, 8, 32, …….?

32

1

6

4

5.- El término general de una progresión geométrica es:

a_n = a₁ · r ^n-1

S_n = (a_n.r – a₁) / r – 1       

S_n = (a₁.rⁿ - a₁)/r-1

r = a_n+1/a_n

 

5.2.- PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE P.G:

P1.- Un alumno al revisar sus cuentas, de su gran negocio emprendedor, encuentra que el sexto y noveno día de la semana ha vendido en soles: a₆ = 400 y a₉ = 3600. ¿Cuánto vendió el primer día?

a) 0,07        b)  7,00        c)       0,007       d) 0,00007       e)  NA 

P2.- El lunes, Jaime es un gran vecino de Monsefú, cuenta que tú tienes una herniosa tienda que vende PRODUCTOS DE CALIDAD, a 10 amigos. Al día siguiente, estos 10 amigos lo cuentan a otros 10 amigos. Al día siguiente, las nuevas personas que lo saben, también lo cuentan a otras 10 personas. Y, así, sucesivamente.

Suponiendo que cada persona sólo ha contado de tu tienda a otras 10 ¿Cuántas personas saben de tu tienda el día domingo?

a) 1 111 111        b)  1 111        c)    11 111       d) 1, 111       e)  NA

P.3.- Un alumno que se dedica a la venta de productos de limpieza, La suma de los primeros 5 días de venta, si la razón de vente de su primer día es la razón r = 5 es  S₅= 3 500 ¿Cuál es la venta del primer día?

a) 4,481        b)  44,80        c)    4481       d) 448,1       e)  NA

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: ELABORAR un problema de venta de productos, según tu plan de negocio, aplicando la REGLA DE FORMACION de una P.G.

6.2.- ENVIO: Captura a través de WhatsApp.

 

 

 

......................................................

Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

ANEXO 2

 

I.-  “QUIZIZZ”:   Control de lecturas y videos.

ANEXO 3

II.- EJERCICIOS EN Whiteboard.fi: Ejercicios del cuaderno de la parte quinta.

 

 

 

 

 

”Educar es más que dar carrera para vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las injusticias” –PITÁGORAS