SESION 7-P4.M3

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”

 

MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº7-P4.MAT.3º

 

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DEL PROYECTO BIMESTRAL-P4:

"Desde la matemática desarrollamos EMPRENDIMIENTO en familia y comunidad para fortalecer la economía en nuestro hogar, con actividades auténticas".

1.2.- DENOMINACION DEL PROYECTO DE GRADO:

"Producción y venta de yogurt, vinagre, vino y encurtidos".  

1.3.- DENOMINACION DE LA SESION 7:

“Diferenciamos los crecimientos aritméticos y geométricos”

 SEGUNDA PARTE:

2.1.- PROPOSITO DE LA SESION:

PLANTEAR las diferencias que existe, al aplicar los CRECIMIENTOS ARITMÉTICOS y GEOMÉTRICOS, en problemas planteados.

 

2.2.- SITUACION SIGNIFICATIVA:

MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos” de Monsefú, ha puesto en marcha su negocio emprendedor y necesita ver qué tipo de crecimiento MATEMATICO, existe en su negocio emprendedor. ¿Cómo podemos ayudarla? ¿Qué tipo de orientación necesita?

 

TERCERA PARTE: “LECTURAS”

3.1.- CRECIMIENTO ARITMETICO:

En un laboratorio, se observa el crecimiento de un cultivo de bacterias en determinadas condiciones de alimentación y temperatura. La población inicial, consta de 1 000 bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá en 10 minutos?

EI número de bacterias que hay cada minuto se registra en la siguiente tabla:

 

 

SOLUCION

1°) Determinamos el INCREMENTO de la población minuto a minuto, usando una tabla:

 

 

2°) Como se observa, el crecimiento de la población de bacterias es constante: 180 ejemplares por minuto. Por ello, es posible calcular en cualquier momento, el número de bacterias si se conoce la población inicial (1 000) y el incremento cada minuto (180):

Minuto 0: 1 000

Minuto 1: 1 000 +180 = 1 180

Minuto 2: 1 000 +2(180) = 1 000+360 = 1 360

Minuto 3: 1 000+3(180) =1 000 + 540= 1540

Minuto 4: 1000 +4(180) =1 000+ 720 = 1720

Minuto 5: 1 000 +5(180) = 1 000 + 900 = 1900

3°) Gráficamente, el resultado es una RECTA:

 

DEDUCIENDO LA FORMULA: El número de bacterias que hay al cabo de un tiempo “t” es igual que:

N° incial de bacterias + (Tiempo) (Incremento constante)

 

Que, con el reemplazo de nuestros datos seria: 1 000 + t (180) = 1000 + 10(180) =  2 800

RPTA: En 10 minutos habrá 2 800 bacterias.

VEMOS QUE: Los fenómenos con un incremento constante “r” en tiempos iguales, a partir de una condición inicial “a”, se representan mediante la función: 2 + rt

Los fenómenos que se describen con funciones del tipo (a + rt) se Ilama, fenómenos de CRECIMIENTO ARITMÉTICO y la sucesión de números de la forma:  a, a +r, a+ 2r, a +3r, a +4r, a +5r…. es una Sucesión de crecimiento aritmético

2.2.- CRECIMIENTO GEOMETRICO:

Se entiende por crecimiento geométrico, también conocido como exponencial, es aquella progresión que aumenta por multiplicación de una cantidad constante.

Ejemplo 1: El número de bacterias de un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de crecimiento de la población de bacterias es constante, Si inicialmente hay 1 000 bacterias ¿Cuántas habrá luego de tres minutos?

SOLUCION

Tenemos: A₀ = 1000   ;  r = 20/100    ; n = 3

Después de un minuto, el número de bacterias será 1000 más el 20% de 1000.

COMO:

1000 + (20/100) 1000 = 1000 + 200 = 1200

Entonces habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto.

Después de dos minutos:

1 200 + (20/100) 1200 = 1 200 + 240 = 1 440

Después de tres minutos:

1 440 + (20/100) 1440 = 1 1440 + 288 = 1 628

Si A es el número de bacterias y “r” la tasa de crecimiento por minuto, entonces en el primer minuto habrá A + rA bacterias. En el segundo, el número de bacterias será la que había al término del primer minuto (A + rA) más el crecimiento correspondiente: r(A + rA)

Entonces: A + rA + r(A + rA) = A + 2Ar + Ar² = A (1 + 2r + r² ) = A (1 + r)²

A(1 + r)² es el número de bacterias al final del segundo minuto.

En el tercer minuto, habrá el número de bacterias del segundo minuto A(1 + r)² más el incremento respectivo: r [ A (1+ r)²]

A(1+r)² + rA(1 + r)²= (A + rA)(1 +r)² = A(1 + r)(1 + r)2 = A(1 + r)³

 Donde A(1 + r)3  es el número de bacterias que hay al concluir el tercer minuto.

Si se concentran los valores en una tabla, es posible encontrar una expresión para calcular el número de bacterias en “n” minutos. 

Por ejemplo, si se quiere saber cuántas bacterias habrá en cinco minutos, se calcula:

Donde. A₀ = 1000   ;  r = 20/100    ; n = 5

Reemplazando en la FORMULA:

A(1 + r) ⁿ =  1000(1 + 20/100)⁵ = 1 000(1.2)⁵ = 1 000(2,48832) = 2 488,32

Entonces a los cinco minutos habrá 2 488 bacterias.

Una lista de números de la forma a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶... es una sucesión de CRECIMIENTO EXPONENCIAL también llamada de CRECIMIENTO GEOMÉTRICO.

2.3.- ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA DE UN CRECIMIENTO ARITMÉTICO Y UN CRECIMIENTO GEOMÉTRICO?

La gráfica de una progresión aritmética es siempre una línea recta y debido a esto se dice también que, “el crecimiento es lineal”. Por otra parte, una progresión geométrica es también una sucesión de números relacionados entre sí por una ley matemática específica.

2.3.1.- CRECIMIENTO ARITMETICO:

 

2.3.1.- CRECIMIENTO GEOMETRICO:

 

CUARTA PARTE: VIDEOS DE REFURZO:  Ingresar a los siguientes links y analizar:

4.1.- CRECIMIENTO ARITMETICO:

https://www.youtube.com/watch?v=tpd3OyQTrqo&ab_channel=AraceliMtz

 

4.2.- CRECIMIENTO GEOMETRICO:

https://www.youtube.com/watch?v=YVGPMyrjE1U&ab_channel=DanielReyesTorres

 QUINTA PARTE:

5.1.- QUESTIONARIO:

1.- ¿Cuál es la fórmula del CRECIMIENTO ARITMÉTICO?:

a + rt

a + b = c

A(1 + r) ⁿ

A (r) ⁿ

 

2.- El CRECIMIENTO GEOMETRICO es conocido como:

Lineal

Exponencial

Parábola

Gráfica

 

3.- ¿cuál es la fórmula del crecimiento geométrico?

a + rt

a + b = c

A (1 + r) ⁿ

A (r) ⁿ

 

4.- ¿En qué se diferencia el crecimiento aritmético y el geométrico?

En su ejercicio

En su propuesta

En su solución

En su gráfico

 

5.2.- PROBLEMAS PROPUESTOS:

5.2.1.- En la I.E San Carlos de Monsefú, en el AÑO ESCOLAR 2018/19 había 4 284 516 alumnos inscritos en secundaria y 4 401 693 en el 2019/20. Si el crecimiento de la matricula es constante. ¿cuántos alumnos se inscribieron en el AE 2020/21? ¿Cuántos se espera que se inscriban en el año 2026?

5.2.2.- Una empresa desea ampliar su red de sucursales; actualmente, dispone de 65 filiales. Si la meta es contar con 209 locales en tres años y el incremento debe ser constante. ¿cuántas sucursales deben abrirse mensualmente?

5.2.3.- Juan tiene una negocio emprendedor, dedicado a la venta de productos artesanales, al revisar sus ventas ha detectado que: En 2019 ha vendido 176 495 productos y en 2020 vendió unos 187 185. Si el e crecimiento anual es Constante ¿Cuántos productos habrá vendido en el año 2022?

5.2.4.- Una familia emprendedora, deposita en el banco S/100 000. Si la tasa de interés es 25% anual y los intereses reinvierten como capital cada año ¿cuál es el capital depositado después de tres años?

5.2.5.- El Sr. Gómez depositó S/ 200 000 en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés anual es 19% y los intereses se reinvierten como capital cada año ¿cuánto dinero tendrá el Sr. Gómez al finalizar los 5 años?

 

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: ELABORAR un problema de venta de productos, según tu plan de negocio, aplicando las UNIDADES de pesos y medidas.

6.2.- ENVIO: Captura a través de WhatsApp.

 

 

 

 

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Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

ANEXO 1

 

I.-  “QUIZIZZ”:   Control de lecturas y videos.

ANEXO 2

II.- EJERCICIOS EN Whiteboard.fi: Ejercicios del cuaderno de la parte quinta.