SESION 8-P4-MAT.3°

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”

 

MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº8-P4.MAT.3º

 

PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DEL PROYECTO BIMESTRAL-P4:

"Desde la matemática desarrollamos EMPRENDIMIENTO en familia y comunidad para fortalecer la economía en nuestro hogar, con actividades auténticas".

1.2.- DENOMINACION DEL PROYECTO DE GRADO:

"Producción y venta de yogurt, vinagre, vino y encurtidos".  

1.3.- DENOMINACION DE LA SESION 7:

“Conocemos la función cuadrática”

 

SEGUNDA PARTE:

2.1.- PROPOSITO DE LA SESION:

“EXPRESAR la FUNCIÓN CUADRÁTICA aplicado a un PROBLEMA de venta de productos.”

 

2.2.- SITUACION SIGNIFICATIVA:

MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos” de Monsefú, ha puesto en marcha su negocio emprendedor y necesita ver qué tipo de tipo de función esta aplicado a su negocio emprendedor. ¿Cómo podemos ayudarla? ¿Qué tipo de orientación necesita?

 

TERCERA PARTE: “LECTURAS”

3.1.- LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

DEFINICION TECNICA, Una función cuadrática es un tipo de función, que se caracteriza por ser un polinomio de segundo grado; en otras palabras, una función cuadrática, es una función en la que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior.

3.2.- FÓRMULA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Las funciones, son la forma representativa de las ecuaciones. Entonces, una función cuadrática será lo mismo que una ecuación cuadrática. Tal que así: 

f(x) = ± x²   →  Función          o           y = ± x²  →  Ecuación

Como se puede comprobar, ambas expresiones son la misma, lo único que la primera está más orientada a ser dibujada y, la segunda, se utiliza más en cálculo. 

3.3.- PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

a.- La función cuadrática, siempre estará comprendida en el primer y cuarto cuadrante de una gráfica. Esto es debido a que para cualquier valor de “X” introducido a la función, esta devolverá un valor positivo siempre. 

b.- La función cuadrática forma una parábola simétrica con el eje vertical.

c.- El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava. 

d.- Si el signo es positivo, la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava. 

Si el signo es negativo, la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa. 

 

3.4.- GRAFICOS:

La forma representada, se llama PARÁBOLA que corresponde al relieve que se puede observar en un cono una vez que este es cortado por un plano como se observa en esta otra figura:

 

También podemos pensar en que si la función es positiva indica que está feliz, entonces si dibujamos dos ojos encima del gráfico podemos identificarla como cóncava. Por el contrario, si la función es negativa, es decir, está triste, veremos que si le dibujamos dos ojos arriba en el gráfico podremos identificarla fácilmente: 

Así resulta más fácil de identificar la función, ¿verdad? Si le SUMAMOS o RESTAMOS un número cualquiera, la función se desplaza arriba o abajo, en función del signo:  Ejemplo  f(x) = x² + 2

 

Si MULTIPLICAMOS la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más pequeña: Ejemplo  f(x) = x² . 2  ;   f(x) = x² . 3

Si DIVIDIMOS la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más grande: f(x) = x² : 2  ; f(x) = x² : 3

3.5.- MÉTODO DE RESOLUCIÓN: 

El método que se utiliza para la resolución de funciones cuadráticas es el siguiente: 

Esta fórmula, se emplea para resolver ecuaciones cuadráticas que cumplen con la siguiente estructura: 

ax² + bx +c = 0    →    siempre que “a” sea  ≠ 0

3.6.- COEFICIENTES DE UNA FUNCION CUADRATICA:

Como ya se dijo, en una función cuadrática de forma f(x)= ax²+ bx + c, a ≠ 0, las letras “a”, “b” y “c” se denominan coeficientes. El coeficiente “c” de una función cuadrática, se llama constante.

Ejemplo: Dada la función:  f(x) = 2x2 + 3x – 10 Cuales son sus coeficientes y la constante.

SOLUCION

a = 2  ; b = 3  y  c = -10

 3.7.- ELEMENTOS IMPORTANTE DE LA PARABOLA:

En el grafico de una parábola, además de su concavidad, se pueden apreciar los Siguientes elementos importantes:

a.- Eje de simetría.

b.- Vértice.

c.- Intercepto o valor de intersección en el eje “y”.

d.- Ceros o valores de intersección en el eje “x”.

EJEMPLO: f(x) = x² -2x – 3  ; a = 1 > 0

SOLUCION

Al tabular y hallar los valores de “x” e “y” se obtiene.

 3.8.- EJERCICIOS RESUELTOS:

E1.- Resolver y representar su grafico de: y = -x² + 4x – 3

SOLUCION

1°) HALLAMOS EL VÉRTICE:

- Como el vértice es un par ordenado (x ,y) hallamos primero el valor de “x” USANDO: x = -b/2a

reemplazando valores usando el ejercicio:

X = - 4/2(-1)

X = - 4/-2

X = 2

 

- Luego hallamos “y” reemplazando el valor de “x” en el ejercicio: y = -x² + 4x – 3

y = -(2)² + 4(2) – 3

y = -4 + 8 – 3

y = 1

El vértice será: V (2 , 1)

NOTA: Para hallar el valor de “y” también se puede usar: c – (b² : 4a)

 

2°) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE “0X”:

Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones con la formula:

 

y = -x² + 4x – 3

0 = -x² + 4x – 3

 

Reemplazando datos:

X = - 4  ±  2 : (-2)

 

LUEGO, vemos que tenemos 3 ecuaciones, por lo tanto tendremos 2 resultados:

x₁ = -4 + 2 : (-2)                     x₂ = -4 – 2 : (-2)

x₁ = - 2 :  (-2)                         x₂ = -6 : (-2)

                                                     x₁ =  1                                    x₂ = 3

 

Así, las intersecciones con el eje “0X” son los pares ordenados: (1 , 0) y (3 , 0) 

 

3.- PUNTO DE CORTE CON EL EJE “0Y”:

En      y = -x² + 4x – 3  ,          si     X = 0     →    y = -3

Así , las intersecciones con el eje “0Y” es: (0 , -3)

4.- Con los datos anteriores, la representación gráfica es:

 

E2.- Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a   y pasa por el punto (1 ; 9). Calcular el valor de “a”.

SOLUCION

Sustituimos el punto (1 ; 9) en la función: y = x² + ax + a  

9 = (1)² + a(1) + a

9 = 1 + a + a

9 - 1 = 2a

8:2 = a

a = 4

E3.- Una parábola tiene su vértice en el punto (1 ; 1) y pasa por el punto (0 ; 2). Hallar su ecuación.

SOLUCION

1°) la ecuación cuadrática se expresa de la forma: y = a(x – h)² + k

2°) Sustituimos los valores del punto vértice:

Y = a (x – 1)² + 1

3°) Sustituimos los valores del punto donde pasa (0 , 2) y despejamos “a”:

2 = a(0 -1)² + 1

2 = a(-1)² + 1

2 = a(1) + 1

2-1 = a

a = 1

4°) Sustituimos el valor de “a” y desarrollamos:

Y = a (x – 1)² + 1

Y = (x – 1)² + 1

Y =  x² – 2x + 1² + 1

Y =  x² – 2x + 1 + 1

Y =  x² – 2x + 2

 

 

 

CUARTA PARTE: VIDEOS DE REFURZO:  Ingresar a los siguientes links y analizar:

4.1.- LA ECUACION CUADRATICSA:

https://www.youtube.com/watch?v=_bP6NowsO-Y&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

 

4.2.- EJERCICIOS CON ECUACIONES CUADRATICAS:

https://www.youtube.com/watch?v=At-ttuflvw8&ab_channel=math2me

4.2.- PROBLEMAS CON ECUACIOENS CUADRATICAS:

https://www.youtube.com/watch?v=udwq50v7ECs&ab_channel=julioprofe

 

QUINTA PARTE:

5.1.- QUESTIONARIO:

1.- Una función cuadrática es un:

Polinomio de 1° grado.

Polinomio de segundo grado.

Polinomio de 3° grado.

Paralelepípedo de 2° grado.

 

2.- El grafico de una función cuadrática es:

Un círculo

Unas Recta

Una parábola

Una hipérbola.

 

3.- si la función es positiva o negativa el grafico función cuadrática va para:

Arriba o Abajo respectivamente

Sube o retrocede respectivamente

Derecha o izquierda respectivamente

Que lo resuelvan

 

4.- Si le SUMAMOS o RESTAMOS un número cualquiera, la función se DESPLAZA:

Como quieren los signos

Paras todos los positivos

Cómodamente hacia el eje “y”

Arriba o abajo, en función del signo. 

5.- Si le MULTIPLICAMOS o DIVIDIMOS la función por un número cualquiera mayor a 1, la ANCHURA de la parábola se vuelve:

Más pequeña o más grande respectivamente.

Más gorda o más flaca respectivamente.

Más larga que la otra respectivamente.

Más flaca “x” que “y” respectivamente.

5.2.- ACTIVIDADES:

ACTIVIDAD 1:

ACTIVIDAD 2: Armar la familia de las parábolas.

 Dadas las siguientes expresiones de las funciones cuadráticas, grafiquen mediante el programa GeoGebra, en el mismo gráfico cartesiano y analicen qué provocan en el gráfico los parámetros: a, b y c en la expresión general: y en la expresión general: y = (x a)² ± c     y  en     y = ax² + bx + c

1)  y = 2x2         2)   y = - 4x2       3) y = - 2x2 + 3         4)  y = (x + 5)2 + 6         5) y = (x – 5)2  + 6

ACTIVIDAD 3: Hallar los valores de “x”

a.-     7x² + 21x – 28 = 0

b.-       4x² – 16 = 0

c.-       3(raíz cuadrada de x-1)  + 11 = 2x

 

ACTIVIDAD 4: PROBLEMAS:

P1.- José tiene un lote rectangular de 750 m² para formar su almacén de venta de productos de su negocio emprendedor, para cercarlo se han utilizado 110 m   de malla ciclónica. Calcular las dimensiones del lote.

P2.- En mi tienda, dedicado a la venta de productos emprendedores, tengo envases de diferentes formas geométricas. Calcular las dimensiones, de un envase rectangular cuya diagonal mide 75 m sabiendo que es semejante a otro envase rectangular de 36m por 48 m

P3.- José tiene un cartón rectangular de 4cm mas de largo que ancha, con ella quiere construir  o diseñar un envase para sus productos lácteos de 840cm3 cortando un cuadrado de 6cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la cajita o envase diseñado.

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: “EXPRESAR la FUNCIÓN CUADRÁTICA aplicado a un PROBLEMA de venta de productos.”

 6.2.- ENVIO: Captura a través de WhatsApp.

 

 

 

 

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Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

ANEXO 1

 

I.-  “QUIZIZZ”:   Control de lecturas y videos.

ANEXO 2

II.- EJERCICIOS EN Whiteboard.fi: Ejercicios del cuaderno de la parte quinta.

 

 

 

 

 

”Educar es más que dar carrera para vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las injusticias” –PITÁGORAS