SESION 9-P4.MAT.3

 

“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de independencia”

 

MATERIAL DE LECTURA PARA LA SESION Nº9-P4.MAT.3º

 PRIMERA PARTE:

1.1.- DENOMINACION DEL PROYECTO BIMESTRAL-P4:

"Desde la matemática desarrollamos EMPRENDIMIENTO en familia y comunidad para fortalecer la economía en nuestro hogar, con actividades auténticas".

1.2.- DENOMINACION DEL PROYECTO DE GRADO:

"Producción y venta de yogurt, vinagre, vino y encurtidos".  

1.3.- DENOMINACION DE LA SESION 7:

“Practicamos con cambios de coeficientes en una F.C”

SEGUNDA PARTE:

2.1.- PROPOSITO DE LA SESION:

“PLANTEAR afirmaciones sobre el cambio que produce el signo de coeficiente cuadrático de una FUNCIÓN CUADRÁTICA en su gráfica, aplicado a un PROBLEMA de venta de productos.”

2.2.- SITUACION SIGNIFICATIVA:

MARYORI estudiante de la institución educativa “San Carlos” de Monsefú, pretende analizar el desarrollo de sus ventas durante sus 9 meses de trabajo, en su negocio emprendedor. ¿Cómo podemos ayudarla? ¿Qué tipo de orientación necesita?

TERCERA PARTE: “LECTURAS”

3.1.- LA FORMULA MATEMATICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Se expresas de la siguiente manera: f(x)= ax²+ bx + c, a ≠ 0.

3.2.- RECORDANDO LA PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA (F.C):

a.- La F.C, siempre estará comprendida en el “I” y “IV” cuadrante de una gráfica. Esto es debido a que para cualquier valor de “X” introducido a la función, esta devolverá un valor positivo siempre. 

b.- La F.C forma una parábola simétrica con el eje vertical.

c.- El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava. 

d.- Si el signo es positivo, la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava. 

Si el signo es negativo, la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa. 

 

3.4.- GRAFICOS:

La forma representada, se llama PARÁBOLA que corresponde al relieve que se puede observar en un cono una vez que este es cortado por un plano como se observa en esta otra figura:

 

3.6.- COEFICIENTES DE UNA FUNCION CUADRATICA:

Como ya se dijo, en una función cuadrática de forma f(x)= ax²+ bx + c, a ≠ 0, las letras “a”, “b” y “c” se denominan coeficientes. El coeficiente “c” de una función cuadrática, se llama constante.

Ejemplo: Dada la función:  f(x) = 2x² + 3x – 10 ¿Cuáles son sus coeficientes y la constante?

SOLUCION

Los coeficientes son: a = 2  ; b = 3  y  la constante: c = -10

 

2.7.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS:

Existen varias aplicaciones, de las funciones cuadráticas en la vida cotidiana. Estas funciones pueden ser usadas para modelar situaciones que siguen una trayectoria parabólica, también pueden ser usadas para calcular áreas de lotes, cajas, cuartos y calcular un área óptima.

Las funciones cuadráticas, incluso pueden ser útiles para determinar las ganancias de un producto o formular la velocidad de un objeto.

3.8.- EJERCICIOS RESUELTOS:

E1.- Identificar sus coeficientes y hallar su grafica de: y = x² + 2x + 1

SOLUCION

1°) HALLAMOS las coordenadas del VÉRTICE: (x , y)    ó    V = (h , k)

Si a = 1 ,  b = 2   ,  c = 1

h = -b/2a = -(2) : 2(1) = -2 : 2 = -1

k = (4ac -b²) /4a = 4(1)(1) – (2)² : 4(1) = (4 – 4) : -4 = 0 : 4 = 0

Por lo tanto : V (-1 ; 0)

2°) Puntos de corte eje “x” llamados raíces de la función cuadrática.

Partimos del ejercicio dado: y = x² + 2x + 1

Lo convertimos en una ecuación cuadrática:

           y = x² + 2x + 1

0 = x² + 2x + 1

   0 = (x + 1) (x + 1)

Igualamos:

(x + 1) = 0                           (x + 1) = 0

      X = - 1                                    x = -1

Así, las intersecciones con el eje  es: (-1 , 0 )   

Punto de corte con el eje :

Si x = 0 entonces y = 1

Así, las intersección con el eje  es:   (-1 , 0)

3°) La grafica seria:

 E2.- Analiza la función y halla su grafica: y = -x² + 6x – 5  

SOLUCION

1°) HALLAMOS las coordenadas del VÉRTICE: (x , y)  ó V = (h , k)

Ordenando los elementos de la función tenemos:

y = -x² + 6x – 5  que corresponde a la función cuadrática: f(x)= ax²+ bx + c, a ≠ 0

Sus coeficientes son:

a = -1  (es su vértice máximo, y la parábola va hacia abajo por ser negativo) 

b = 6   , 

c = - 5  (y es el intercepto)

Su vértice:  V = (h , k)

h = -b/2a = -(6) : 2(-1) = -6 : -2 = 3

k = (4ac -b²) /4a = 4(-1)(-5) – (6)² : 4(-1) = (20 – 36) : -4 = -16 : -4 = 4

Por lo tanto : V (3 ; 4)

2°) Puntos de corte eje “x” llamados raíces de la función cuadrática.

Partimos del ejercicio dado: y = -x² + 6x – 5

Lo multiplicamos por (-1) para poder simplificar al convertirlo en una ecuación cuadrática:

           y = -x² + 6x – 5   (-1)

0 = x² - 6x + 5

   0 = (x -5) (x – 1)

Igualamos:

(x -5) = 0                           (x – 1) = 0

      X = 5                                    x = 1

Los puntos de intersección: (5 , 0 )    ,    (1 , 0)

3°) La grafica seria:

 E3.- Analiza la función y halla su gráfica: y = 2x -x²

SOLUCION

1°) HALLAMOS las coordenadas del VÉRTICE: (x , y)  ó V = (h , k)

Ordenando los elementos de la función tenemos:

y =  -x² + 2x  que corresponde a la función cuadrática: f(x)= ax²+ bx + c, a ≠ 0

Sus coeficientes son:

a = -1  (es su vértice máximo, y la parábola va hacia abajo por ser negativo) 

b = 2   , 

c = 0   (y es el intercepto)

Su vértice:  V = (h , k)

h = -b/2a = -(2) : 2(-1) = -2 : -2 = 1

k = (4ac -b²) /4a = 4(-1)(0) – (2)² : 4(-1) = (0 – 4) : -4 = -4 : -4 = 1

Por lo tanto : V (1 ; 1)

2°) Puntos de corte eje “x” llamados raíces de la función cuadrática.

Hallamos  x-Interceptos: y = 0

2x – x² = 0

X(2 – x)

Igualamos cada una:

X = 0            y        2 – x = 0

X = 0                             x = 2

Los puntos de intersección: (0 , 0 )    ,    (2 , 0)

3°) La grafica seria:

 E4.- Si para fabricar un producto de gelatina, se obtiene un ingreso de i(x) = 0,7x² + 100x + 10 , mientras que los costos de fabricación del producto es: c(x) =x² – 50x – 60 . Si la ganancia esta dado por los ingresos menos los costos tenemos: g(x) = -0,3x² + 150x + 70 .

1°) ¿Cuántos productos puedo vender para obtener una ganancia máxima?

2°) ¿Para qué cantidad de productos la ganancia seria S/ 10 000?

SOLUCION

1°) HALLAMOS las coordenadas del VÉRTICE: (x_v , yv)  ó V = (h , k)

Ordenando los elementos de la función tenemos: g(x) = -0,3x² + 150x + 70

Sus coeficientes son:

a = -0,3           ,         b = 150   ,          c = 70   (y es el intercepto)

Su vértice: : (x_v , yv) 

Vamos a ver la cantidad de productos para que la ganancia sea máxima:

X_v = -b/2a

X_v = -(150) : 2(-0,3)

X_v = -150 : -0,6

X_v = 250

Vemos cuanto es la ganancia máxima, usando la fórmula de la ganancia:

Y_v = -0,3x² + 150x + 70

Y_v = -0,3(250)² + 150(250) + 70

Y_v = -0,3(62 500) + 37 500 + 70

Y_v = - 18 750 + 37 500 + 70

Y_v = 18 820

Por lo tanto: tengo que vender 250 productos, para que la ganancia máxima sea de S/ 18 820

Vamos a ver las raíces de la FC, usando la formula: 

Tenemos las dos raíces:

X₁ = (-150  + 150 ) : -0,6                            y                               X₂ = ( -150  - 150 ) : -0,6

X₁ = 0 : -0,6                                                                                 X₂ =  -300 : -0,6

X₁ = 0                                                                                            X₂ =  500

Es decir que, si vendemos 500 productos, la ganancia es “0”.

SU GRAFICO:

 

CUARTA PARTE: VIDEOS DE REFURZO:  Ingresar a los siguientes links y analizar:

4.1.- COEFICIETNES DE ECUACIONES CUADRATICAS:

https://www.youtube.com/watch?v=x1w6AcdJR6k&ab_channel=ProfeAmy

4.2.- ANALISIS DE ECUACIONES CUADRATICAS:

https://www.youtube.com/watch?v=E6ysFJEIyEc&ab_channel=julioprofe

QUINTA PARTE:

5.1.- QUESTIONARIO:

1.- ¿Cuál es la fórmula de una función cuadrática?

X + y + 1

0  = ax²+ bx + c

x – 3x = 0

4x + 5 = 9

 

2.- Es el vértice de una función cuadrática es:

V(x, y, z)

(x , Y)

V(h , k)

X , y = h + k

 

3.- Identificar los coeficientes y constante en:  y = - 4x²      

a = - 1  , b = 1  y  c = 1

a = - 4  , b = 1  y  c = 1

a = 0  ,  b = 0  y   c = 0

a = - 4  , b = 0  y  c = 0

 

4.- Identificar los coeficientes y constante en:  y = - 2x² + 3        

a = -2    ,  b = 0   ; c = 3

a = -1    ,  b = 3   ; c = 0

a = 2    ,  b = - 3   ; c = 0

a = 1    ,  b = 2   ; c = 3

 

5.- Identificar los coeficientes y constante en:  y = (x + 5)² + 6              

a = -2    ,  b = 0   ; c = 3

a = -1    ,  b = 3   ; c = 0

a = 1    ,  b = 1p0   ; c = 31

a = 1    ,  b = 2   ; c = 3

 

 

5.2.- ACTIVIDADES:

ACTIVIDAD 1:

¿Cuáles son los coeficientes de las siguientes ecuaciones cuadráticas?

1)  y = 2x²         2)   y = - 4x²       3) y = - 2x² + 3         4)  y = (x + 5)² + 6         5) y = (x – 5)²  + 6

 

ACTIVIDAD 4: PROBLEMA:

1.- Si para fabricar un producto de gelatina, se obtiene un ingreso de i(x) = 0,7x² + 100x + 10 , mientras que los costos de fabricación del producto es: c(x) =x² – 50x – 60 . Si la ganancia esta dado por los ingresos menos los costos tenemos: g(x) = -0,3x² + 150x + 70  ¿Para qué cantidad de productos la ganancia seria S/ 10 000?

 

 

SEXTA PARTE:

6.1.- RETO: “PLANTEAR el signo de coeficiente cuadrático, de una FUNCIÓN CUADRÁTICA en su gráfica, aplicado a un PROBLEMA de venta de productos.”

6.2.- ENVIO: Captura a través de WhatsApp.

 

 

 

 

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Vallejos MARRUFO, Elías.

PROFESOR

 

ANEXO 2

 

I.-  “QUIZIZZ”:   Control de lecturas y videos.

ANEXO 3

II.- EJERCICIOS EN Whiteboard.fi: Ejercicios del cuaderno de la parte quinta.

 

 

 

 

 

”Educar es más que dar carrera para vivir, es templar el alma para las dificultades y para soportar las injusticias” –PITÁGORAS